Задача лёгкая но решить не могу: Деревянный куб покрасили снаружи краской, каждое его ребро разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, к которых ребро в 5 раз меньше, чем у исходного куба.Сколько получилось маленьких кубиков? У скольких кубиков окрашены 3 грани? только одна грань? сколько осталось неокрашенных кубиков?
Для начала рассмотрим, как был разделен исходный куб. Если каждое ребро исходного куба разделено на пять равных частей, то это означает, что в каждом измерении (длина, ширина, высота) куб разделен на 5 частей. Так как куб трехмерный, то всего получится (5 \times 5 \times 5 = 125) маленьких кубиков.
Теперь давайте определим, сколько из этих кубиков имеет окрашенные грани, и сколько граней у каждого окрашено.
Кубики с тремя окрашенными гранями находятся в углах исходного куба. Каждый угол исходного куба дает один маленький кубик с тремя окрашенными гранями. Поскольку у куба 8 углов, получается 8 таких маленьких кубиков.
Кубики с одной окрашенной гранью находятся на центральных позициях каждой из шести граней куба. Для каждой грани исходного куба центральные маленькие кубики — это те, которые не касаются других граней, кроме той, на которой они находятся. На каждой грани таких кубиков будет (3 \times 3 = 9) (по три в каждом из трех рядов, исключая крайние кубики). Таким образом, всего таких кубиков будет (9 \times 6 = 54).
Неокрашенные кубики находятся внутри куба. Они не касаются внешней поверхности исходного куба. В каждом измерении эти кубики занимают пространство между внешними слоями, то есть имеют размер (5 - 2 = 3) в каждом измерении. Таким образом, количество неокрашенных кубиков будет (3 \times 3 \times 3 = 27).
Таким образом, у нас есть:
Обратите внимание, что мы не учли кубики с двумя окрашенными гранями, которые находятся на ребрах исходного куба, но не в углах. На каждом ребре исходного куба (их 12) по 3 таких кубика (кроме угловых), что дает (12 \times 3 = 36) кубиков с двумя окрашенными гранями. Это помогает удостовериться в том, что все кубики были учтены, так как (8 + 54 + 36 + 27 = 125).
Для начала посчитаем количество маленьких кубиков, которые получились после распиливания исходного куба. Известно, что ребро маленького кубика в 5 раз меньше, чем ребро исходного куба. Значит, объем каждого маленького кубика будет составлять 1/125 объема исходного куба (5 в 3 степени). Следовательно, количество маленьких кубиков будет равно 125.
Теперь рассмотрим окраску кубиков. Поскольку каждое ребро исходного куба было разделено на 5 равных частей, то каждая грань маленького кубика будет иметь площадь 1/25 площади грани исходного куба (5 в 2 степени). Таким образом, 3 грани маленького кубика будут окрашены, а 3 грани будут неокрашены.
Итак, из 125 маленьких кубиков:
