Задача Дано: Равнобедренная трапеция ABCD AD = 17 AB = CD (каждая по 13) BC = 7 Найти площадь трапеции...

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. В данной задаче трапеция ABCD имеет основания AB и CD (каждое по 13) и боковые стороны AD и BC (AD = 17, BC = 7).

Для нахождения площади трапеции нам нужно сначала найти высоту трапеции. Воспользуемся основными свойствами и формулами.

1. Обозначим стороны:

   • ( AB = CD = 13 ) (верхнее основание и нижнее основание)
   • ( AD = BC = 17 ) (боковые стороны)
   • ( BC = 7 ) (верхнее основание)

2. Находим среднюю линию трапеции (среднее основание): Средняя линия трапеции ( m ) равна полусумме оснований трапеции: [ m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{13 + 13}{2} = 13 ]

3. Высота трапеции: Для нахождения высоты ( h ), опустим перпендикуляры из точек A и D на основание CD, обозначим их как точки E и F соответственно. Эти перпендикуляры будут высотами трапеции и делят трапецию на два прямоугольных треугольника ABE и DCF.

   Рассмотрим треугольник ABE. В этом треугольнике AE и BE являются катетами, а AD (равное 17) — гипотенузой. Также известно, что ( BE = \frac{BC - AB}{2} = \frac{7 - 13}{2} = -3 ).

   Так как BE не может быть отрицательным, мы должны пересмотреть треугольник. Правильным будет рассмотреть ( CD ) как основание, а ( AB ) как верхнее основание, и определить разницу между ними. Разница в длине оснований (13 - 7 = 6) делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками при основаниях.

   Рассмотрим ещё раз треугольник ABE. В нём:

   • ( AE = \sqrt{AD^2 - BE^2} )
   • ( BE = BE = \frac{AB - CD}{2} = \frac{13 - 7}{2} = 3 )

   Используем теорему Пифагора в треугольнике ABE: [ AE = \sqrt{AD^2 - BE^2} = \sqrt{17^2 - 3^2} = \sqrt{289 - 9} = \sqrt{280} = 2\sqrt{70} ]

4. Вычисление площади трапеции: Площадь трапеции ( S ) рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h ] Здесь ( AB ) и ( CD ) — основания трапеции, ( h ) — высота.

   Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \times (13 + 7) \times 2\sqrt{70} = \frac{1}{2} \times 20 \times 2\sqrt{70} = 20\sqrt{70} ]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна ( 20\sqrt{70} ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи найдем высоту трапеции. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

AB^2 = AD^2 - BD^2 13^2 = 17^2 - BD^2 169 = 289 - BD^2 BD^2 = 289 - 169 BD^2 = 120 BD = √120 BD = 10√3

Теперь найдем площадь трапеции, используя формулу: S = (сумма оснований * высота) / 2

S = ((AB + CD) BD) / 2 S = ((13 + 13) 10√3) / 2 S = (26 * 10√3) / 2 S = 130√3

Ответ: площадь равнобедренной трапеции ABCD равна 130√3.

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то ее основания AB и CD равны, а значит a = b = 13. Нам известно, что AD = 17, BC = 7 и AC = BD - диагонали равнобедренной трапеции равны.

Для нахождения высоты трапеции разделим ее на два треугольника: BCD и ACD. Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали AC:

AC^2 = AD^2 - CD^2 AC^2 = 17^2 - 13^2 AC^2 = 289 - 169 AC^2 = 120 AC = √120 AC = 2√30

Теперь найдем высоту трапеции, которая является биссектрисой треугольника BCD:

h = √(BC^2 - (AC/2)^2) h = √(7^2 - (2√30 / 2)^2) h = √(49 - 30) h = √19

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

S = (a + b) h / 2 S = (13 + 13) √19 / 2 S = 26 * √19 / 2 S = 13√19

Ответ: площадь равнобедренной трапеции ABCD равна 13√19.