Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершины при основании и из вершины, противолежащей...

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершины при основании, являются медианами и биссектрисами. Также известно, что угол, образованный высотами, равен углу между биссектрисами.

Поскольку угол между высотами равен 110 градусам, то угол между биссектрисами также равен 110 градусам. Поскольку биссектрисы делят угол при основании на равные части, то каждый из углов при основании равнобедренного треугольника равен (180-110)/2 = 35 градусов.

Таким образом, углы данного равнобедренного треугольника равны: 35 градусов, 35 градусов и 110 градусов.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AB ) и вершиной ( C ). Пусть ( CH ) — высота, проведенная из вершины ( C ) к основанию ( AB ), и ( CM ) — высота, проведенная из вершины ( A ) к стороне ( BC ). По условию, высоты ( CH ) и ( CM ) пересекаются под углом 110 градусов. Нам нужно определить углы треугольника ( ABC ).

1. Обозначения и свойства высот:

   • ( CH ) и ( CM ) — высоты, значит, они перпендикулярны к основаниям ( AB ) и ( BC ) соответственно.
   • ( CH \perp AB ).
   • ( CM \perp BC ).

2. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • Пусть угол при вершине ( C ) обозначим как ( \gamma ), а углы при основании ( \alpha ) и ( \beta ) (где ( \alpha = \beta )).

3. Рассмотрение угла между высотами:

   • Так как ( CH \perp AB ) и ( CM \perp BC ), то угол между высотами ( CH ) и ( CM ) равен ( 180^\circ - \angle HCM ).
   • По условию, угол между высотами равен ( 110^\circ ), следовательно, ( 180^\circ - \angle HCM = 110^\circ ).
   • ( \angle HCM = 70^\circ ).

4. Анализ треугольника ( HCM ):

   • В треугольнике ( HCM ) угол ( HCM = 70^\circ ).
   • Угол ( HCA = 90^\circ ), так как ( CH ) — высота.
   • Угол ( MCB = 90^\circ ), так как ( CM ) — высота.

5. Определение углов треугольника ( ABC ):

   • Угол ( ACB ) (между сторонами ( AC ) и ( BC )) состоит из двух частей: ( \angle HCA ) и ( \angle HCM ).
   • ( \angle ACB = \angle HCA + \angle HCM = 90^\circ + 70^\circ = 160^\circ ).

   Однако, это противоречит нашей геометрии, так как в треугольнике сумма углов должна быть 180 градусов. В данном ходе решение было ошибочно.

6. Пересмотр углов:

   • Углы ( CAH ) и ( CBM ), поскольку они перпендикулярны основаниям, образуют равные уголы.

7. Правильный пересмотр:

   • Анализ высот: Высоты пересекаются вне треугольника и создают внешний угол, а не внутренний.
   • Угол между высотами ( 110^\circ ) является внешним углом, результируя, ( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ ).

8. Сумма углов в треугольнике:

   • Пусть ( \alpha ) — угол при основании (( \alpha = \alpha^\prime )).
   • ( \gamma ), угол при вершине ( C ), является внешним углом для углов ( \alpha ), и равен ( 70^\circ ).
   • Следовательно, ( \gamma = 70^\circ )
   • Углы при основании равны, ( \alpha = 55^\circ ).

Таким образом, углы равнобедренного треугольника ( ABC ) будут:

• ( \alpha = 55^\circ )
• ( \beta = 55^\circ )
• ( \gamma = 70^\circ ).