Высоты параллелограмма, проведенные с вершины острого угла, образуют угол 150 градусов, стороны параллелограмма...

Чтобы найти высоты параллелограмма, проведенные из вершины острого угла, сначала обозначим стороны параллелограмма как ( AB = 18 \, \text{см} ) и ( AD = 10 \, \text{см} ). Обозначим высоты, проведенные из вершины ( A ) на стороны ( BC ) и ( CD ), как ( h_1 ) и ( h_2 ) соответственно.

Зная, что угол между высотами равен 150°, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрии для нахождения высот. Высоты параллелограмма пересекаются, и угол между ними равен 150°. Таким образом, угол между высотой ( h_1 ) и линией, соединяющей основание ( BC ), будет равен ( 180° - 150° = 30° ).

Для нахождения высот воспользуемся формулой для площади параллелограмма:

[ S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2 ]

где ( a ) и ( b ) — это длины сторон параллелограмма, а ( h_1 ) и ( h_2 ) — высоты, проведенные из вершины острого угла.

Площадь параллелограмма также можно выразить через длину одной стороны и высоту, проведенную к ней. Выберем сторону ( AB ) в качестве основания:

[ S = AB \cdot h_1 = 18 \cdot h_1 ]

И также можно выразить площадь через сторону ( AD ):

[ S = AD \cdot h_2 = 10 \cdot h_2 ]

Таким образом, из этих двух выражений для площади получаем:

[ 18 \cdot h_1 = 10 \cdot h_2 ]

Теперь выразим одну высоту через другую:

[ h_2 = \frac{18}{10} \cdot h_1 = 1.8 \cdot h_1 ]

Теперь нам нужно использовать угол между высотами. Зная, что угол между высотами равен 150°, мы можем использовать закон косинусов для нахождения высот. С учетом того, что высоты ( h_1 ) и ( h_2 ) образуют угол 150°, можем записать:

[ h_1^2 + h_2^2 - 2h_1h_2 \cos(150°) = d^2 ]

где ( d ) — это расстояние между основаниями, ( BC ) и ( CD ). Однако расстояние между основаниями мы не знаем, и этот подход не приведет нас к решению.

Вместо этого, мы можем воспользоваться свойством углов между высотами: высоты можно просчитать через синусы углов. Поскольку угол между высотами равен 150°, то высоты можно выразить через синусы:

[ h_1 = 18 \cdot \sin(30°) = 18 \cdot 0.5 = 9 \, \text{см} ]

Теперь подставим ( h_1 ) в уравнение для ( h_2 ):

[ h_2 = 1.8 \cdot 9 = 16.2 \, \text{см} ]

Таким образом, высоты параллелограмма равны:

[ h_1 = 9 \, \text{см}, \quad h_2 = 16.2 \, \text{см} ]

Итак, высоты параллелограмма составляют 9 см и 16.2 см.

Для решения задачи найдем высоты параллелограмма, используя свойства геометрии.

Дано:

• Стороны параллелограмма ( a = 10 \, \text{см} ) и ( b = 18 \, \text{см} );
• Угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен ( 150^\circ );
• Требуется найти высоты параллелограмма ( h_a ) и ( h_b ), соответствующие сторонам ( a ) и ( b ).

Рассмотрение задачи:

1. Параллелограмм и его свойства. В параллелограмме высоты ( h_a ) и ( h_b ) перпендикулярны сторонам ( a ) и ( b ) соответственно. Эти высоты пересекаются в точке, и угол между ними, по условию, равен ( 150^\circ ).

2. Углы между высотами и сторонами. Если угол между высотами ( h_a ) и ( h_b ) равен ( 150^\circ ), то острый угол параллелограмма ( \alpha ) может быть выражен как ( \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ). Таким образом, острый угол параллелограмма составляет ( 30^\circ ).

3. Формула площади параллелограмма. Площадь параллелограмма ( S ) можно вычислить двумя способами:

   • Через стороны и угол между ними:
     [ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha), ] где ( \alpha = 30^\circ );
   • Через стороны и высоты:
     [ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b. ]

   Сравнив эти выражения, получим: [ a \cdot h_a = b \cdot h_b = a \cdot b \cdot \sin(\alpha). ]

4. Вычисление синуса угла. Для угла ( \alpha = 30^\circ ), известно, что: [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}. ]

   Подставляем это значение в формулу для площади: [ S = a \cdot b \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot b \cdot \frac{1}{2}. ] Подставляем значения ( a = 10 \, \text{см} ) и ( b = 18 \, \text{см} ): [ S = 10 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 90 \, \text{см}^2. ]

5. Нахождение высот. Теперь, зная площадь ( S ), можем найти высоты ( h_a ) и ( h_b ):

   • Для высоты ( h_a ), соответствующей стороне ( a ): [ h_a = \frac{S}{a} = \frac{90}{10} = 9 \, \text{см}. ]
   • Для высоты ( h_b ), соответствующей стороне ( b ): [ h_b = \frac{S}{b} = \frac{90}{18} = 5 \, \text{см}. ]

Ответ:

Высоты параллелограмма равны:

• ( h_a = 9 \, \text{см} ) (высота к стороне ( a ));
• ( h_b = 5 \, \text{см} ) (высота к стороне ( b )).