Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 4/5 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите...

Чтобы найти угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром, нужно воспользоваться некоторыми свойствами правильной треугольной пирамиды.

Дано:

• ( SO ) — высота пирамиды ( SABC ).
• ( SM ) — высота боковой грани ( SAB ).
• ( SO = \frac{4}{5} SM ).

Поскольку пирамида правильная, основание ( ABC ) является равносторонним треугольником, а высота ( SO ) проходит через центр ( O ) треугольника ( ABC ). Боковые ребра ( SA ), ( SB ) и ( SC ) равны между собой.

Шаги решения:

1. Определим высоты ( SO ) и ( SM ):

   Поскольку ( SO = \frac{4}{5} SM ), мы можем выразить одну высоту через другую: [ SM = \frac{5}{4} SO ]

2. Треугольник ( SAB ):

   В треугольнике ( SAB ), точка ( M ) — это точка на стороне ( AB ), где высота ( SM ) пересекает её под прямым углом. Поскольку ( SAB ) — равнобедренный треугольник (так как это боковая грань правильной пирамиды), ( SM ) также будет медианой и биссектрисой.

3. Ищем угол между плоскостью основания и боковым ребром:

   Угол между плоскостью основания ( ABC ) и боковым ребром ( SA ) можно найти, используя косинус угла между векторами ( SO ) и ( SA ).

   Из треугольника ( SOM ):

   • ( \cos \theta = \frac{SO}{SM} )
   • Подставим известные значения: [ \cos \theta = \frac{SO}{\frac{5}{4}SO} = \frac{4}{5} ]

   Следовательно, угол ( \theta ) между вектором ( SO ) и вектором ( SA ), который является также углом между плоскостью основания и боковым ребром, можно найти как: [ \theta = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) ]

Ответ:

Угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром равен (\theta = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)).

Угол между плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром равен 30 градусам.

Для нахождения угла между плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром, нам необходимо рассмотреть треугольник SOS', где S' - проекция точки S на плоскость основания ABC. Поскольку высота SO равна 4/5 высоты SM, то отношение сторон треугольников SOS' и SOM будет равно 4/5.

Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания можно найти по формуле:

cos(угол) = 4/5 = OS'/OS

Отсюда получаем, что угол между плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром равен arccos(4/5) или примерно 36.87 градусов.