Высота равностороннего треугольника равна 3 см.Найдите сторону этого равностороннего треугольника.
Высота равностороннего треугольника равна 3 см.Найдите сторону этого равностороннего треугольника.
Для нахождения стороны равностороннего треугольника, зная его высоту, используем свойства и формулы, связанные с равносторонними треугольниками.
Равносторонний треугольник обладает следующими свойствами:
Высота ( h ) равностороннего треугольника делит его на два прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника (( a )), один из катетов равен половине этой стороны (( \frac{a}{2} )), а другой катет – высота (( h )).
Воспользуемся теоремой Пифагора для одного из этих прямоугольных треугольников: [ a^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2 ]
Подставим высоту ( h = 3 ) см: [ a^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + 3^2 ] [ a^2 = \frac{a^2}{4} + 9 ]
Теперь уравнение нужно упростить и решить относительно ( a ): [ a^2 - \frac{a^2}{4} = 9 ] [ \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = 9 ] [ \frac{3a^2}{4} = 9 ]
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: [ 3a^2 = 36 ]
Разделим обе части уравнения на 3: [ a^2 = 12 ]
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: [ a = \sqrt{12} ] [ a = 2\sqrt{3} ]
Таким образом, сторона равностороннего треугольника составляет ( 2\sqrt{3} ) см.
Высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника, каждый из которых является прямоугольным треугольником. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны равностороннего треугольника.
Пусть сторона равностороннего треугольника равна а. Тогда высота делит эту сторону пополам, и мы можем найти катет прямоугольного треугольника, образованного высотой и половиной стороны равностороннего треугольника, как a/2. Таким образом, применяя теорему Пифагора, получаем:
(a/2)^2 + 3^2 = a^2 a^2/4 + 9 = a^2 9 = 3a^2/4 a^2 = 36 a = 6
Итак, сторона равностороннего треугольника равна 6 см.
