Высота правильной треугольной пирамиды 2 корень из 3, а боковая образует с плоскостью основания угол...

Объем правильной треугольной пирамиды равен V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. В данном случае S = a^2 sqrt(3)/4, где a - длина стороны основания. Подставляем известные значения и получаем V = (1/3) (a^2 sqrt(3)/4) 2 sqrt(3) = a^2 sqrt(3)/3.

Для начала определим высоту боковой грани пирамиды. Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов, то мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором известны гипотенуза (высота пирамиды) и один катет (высота боковой грани).

По теореме Пифагора найдем другой катет: (a^2 = c^2 - b^2), где (a) - высота боковой грани, (c) - высота пирамиды, (b) - половина стороны основания.

(a^2 = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 12 - 1 = 11)

(a = \sqrt{11})

Теперь можем найти площадь боковой грани пирамиды: (S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times \sqrt{11} \times 2 = \sqrt{11})

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле: (V = \frac{1}{3} \times S{\text{осн}} \times h), где (S{\text{осн}}) - площадь основания, (h) - высота пирамиды.

Так как у нас правильный треугольник, площадь основания равна: (S_{\text{осн}} = \frac{3}{4} \times a^2 = \frac{3}{4} \times (1^2) = \frac{3}{4})

Теперь можем найти объем пирамиды: (V = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{4} \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{3})

Для решения задачи найдем объем правильной треугольной пирамиды, используя данную информацию.

1. Определим основные элементы пирамиды:

   • Высота пирамиды ( h ) = ( 2\sqrt{3} )
   • Угол между боковой гранью и плоскостью основания ( \alpha ) = 60 градусов
   • Так как пирамида правильная треугольная, основание пирамиды — правильный треугольник.

2. Рассмотрим центральное сечение пирамиды:

   • Центральное сечение проходит через вершину пирамиды и середины сторон основания.
   • В этом сечении образуется равнобедренный треугольник, где высота пирамиды ( h ) является высотой этого треугольника, а боковая грань является его боковой стороной.
   • Угол между высотой и боковой гранью равен 60 градусам.

3. Найдём длину боковой грани:

   • Рассмотрим треугольник, в котором:
     • Высота ( h ) = ( 2\sqrt{3} )
     • Угол между высотой и боковой гранью ( \alpha ) = 60 градусов
     • Боковую грань обозначим через ( l )
   • Используем тригонометрическое соотношение для нахождения ( l ): [ \cos(60^\circ) = \frac{h}{l} ] [ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ] [ \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{l} ] [ l = 4\sqrt{3} ]

4. Найдём сторону основания пирамиды:

   • В равностороннем треугольнике (основании пирамиды) высота делит его на два прямоугольных треугольника, где высота является катетом, а гипотенуза — это половина стороны основания.
   • Высота равностороннего треугольника выражается через сторону ( a ) как: [ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]
   • Так как эта высота является апофемой (высотой) правильной треугольной пирамиды, она будет равна: [ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = 2\sqrt{3} ] [ a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 ]

5. Найдём площадь основания ( S_{\text{осн}} ):

   • Правильный треугольник со стороной ( a = 4 ): [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} ]

6. Найдём объем пирамиды:

   • Формула объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h ]
   • Подставляем найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 = \frac{24}{3} = 8 ]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен ( 8 ) кубическим единицам.