Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см,а боковые грани образуют с основанием угол 45...

Для начала найдем длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды. Поскольку боковые грани образуют с основанием угол 45 градусов, это значит, что треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой боковой грани (опущенной на сторону основания) и половиной стороны основания, является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Обозначим половину стороны основания как ( x ). Тогда высота, опущенная на сторону основания из вершины (которая же и является апофемой боковой грани), также будет равна ( x ). Известно, что полная высота пирамиды от вершины до центра основания равна 4 см. Так как пирамида правильная, центр основания будет также являться точкой пересечения высот боковых граней.

Используя теорему Пифагора для найденного треугольника, получаем: [ x^2 + x^2 = 4^2 ] [ 2x^2 = 16 ] [ x^2 = 8 ] [ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна ( 2x = 4\sqrt{2} \text{ см} ).

Теперь найдем площадь одной боковой грани. Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием ( 4\sqrt{2} ) см и высотой ( 4 ) см (высота пирамиды). Площадь одной такой грани равна: [ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 4 = 8\sqrt{2} \text{ см}^2 ]

Так как у пирамиды четыре боковые грани, то общая площадь боковой поверхности равна: [ S_{общ} = 4 \times 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \text{ см}^2 ]

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет ( 32\sqrt{2} ) см².

Для расчета площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 см и углом между боковыми гранями и основанием 45 градусов можно воспользоваться формулой:

S = 1/2 периметр основания высота

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то у нее основание является квадратом. Пусть сторона квадрата равна а, тогда периметр основания равен 4а. Также у нас дан угол между боковой гранью и основанием - 45 градусов, что означает, что треугольник, образованный боковой гранью и половиной диагонали основания, является прямоугольным.

Таким образом, высота этого треугольника равна 4 см, а катет (половина диагонали) равен a/2. Используем тригонометрию:

tg(45 градусов) = высота / катет 1 = 4 / (a/2) a = 8

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

S = 1/2 4а 4 S = 8а S = 8 * 8 S = 64 см^2

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 64 квадратных сантиметра.