Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см и образует с боковым ребром угол 45 градусов...

Для решения задачи найдем объем правильной четырехугольной пирамиды, используя заданные условия.

Дано:

• Высота пирамиды ( h = 20 ) см.
• Угол между высотой и боковым ребром ( \alpha = 45^\circ ).

1. Найдем длину бокового ребра пирамиды.

Пусть ( l ) — длина бокового ребра. Из условия задачи, угол между высотой ( h ) и боковым ребром ( l ) равен ( 45^\circ ). Этот угол образует прямоугольный треугольник, в котором высота ( h ) является противолежащим катетом, а боковое ребро ( l ) — гипотенузой.

Используем соотношение в прямоугольном треугольнике: [ \sin 45^\circ = \frac{h}{l}. ] Подставим известные значения: [ \sin 45^\circ = \frac{20}{l}. ]

Поскольку (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20}{l}. ]

Решим это уравнение относительно ( l ): [ l = 20 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \sqrt{2}. ]

1. Найдем длину апофемы (высоты боковой грани) пирамиды.

Апофема ( a ) — это высота боковой грани, которая является перпендикуляром, опущенным из вершины пирамиды на сторону основания. В правильной четырехугольной пирамиде апофема и высота ( h ) образуют прямоугольный треугольник с полудиагональю основания ( \frac{d}{2} ), где ( d ) — диагональ основания.

Для правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания ( a ): [ d = a\sqrt{2}. ]

Полудиагональ основания: [ \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}. ]

Используем теорему Пифагора для треугольника с апофемой ( a ), высотой пирамиды ( h ) и полудиагональю основания ( \frac{d}{2} ): [ l^2 = h^2 + \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2. ]

Подставим ( l = 20\sqrt{2} ) и ( h = 20 ): [ (20\sqrt{2})^2 = 20^2 + \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2, ] [ 800 = 400 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}, ] [ 800 = 400 + \frac{a^2}{2}, ] [ 400 = \frac{a^2}{2}, ] [ a^2 = 800, ] [ a = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}. ]

1. Найдем длину стороны основания.

Так как апофема ( a ) образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды ( h ) и полудиагональю основания ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ): [ a = \frac{a\sqrt{2}}{2}, ] [ 20\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}, ] [ a = 20\sqrt{2} \times 2 = 40. ]

1. Найдем площадь основания.

Основание пирамиды — правильный четырехугольник (квадрат) со стороной ( a ): [ S_\text{осн} = a^2 = 40^2 = 1600. ]

1. Найдем объем пирамиды.

Формула объема правильной пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S_\text{осн} \cdot h. ]

Подставим известные значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 1600 \cdot 20 = \frac{1}{3} \cdot 32000 = 10666.\overline{6} \ \text{см}^3. ]

Ответ: Объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( 10666.\overline{6} ) см³.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой 20 см и углом между высотой и боковым ребром 45 градусов, нужно воспользоваться формулой для объема пирамиды: V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота.

Так как пирамида правильная, то ее основание - квадрат. Пусть сторона основания равна a, тогда площадь основания будет S = a^2.

Также в правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и высотой равен 45 градусов. Это означает, что треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной диагонали основания, является прямоугольным. Пусть диагональ основания равна d, тогда половина диагонали - d/2. Так как угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов, то у нас получается прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 20 см (высота) и другой катет равен d/2. По теореме синусов имеем: sin(45) = 20 / (d/2), откуда d = 40 / sin(45) = 40 / √2 = 20√2.

Теперь можем найти площадь основания: S = a^2 = (20√2)^2 = 800.

Наконец, подставляем найденные значения в формулу объема пирамиды: V = (1/3) 800 20 = 16000/3 = 5333,33 см^3.

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 5333,33 см^3.