Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ осевого сечения образует с образующей стороной угол 60 °. Найти...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами цилиндра.

По условию высота цилиндра равна 6 см. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое является прямоугольным треугольником с диагональю, образующей угол 60° с образующей стороной цилиндра.

Пусть образующая сторона цилиндра равна R, диагональ осевого сечения цилиндра - D, а его радиус - r. Тогда по геометрическим свойствам прямоугольного треугольника имеем:

D = 2r, так как диагональ равна двум радиусам цилиндра; tg 60° = r / R, так как tg угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему; r = R * tg 60°.

Таким образом, мы нашли выражение для радиуса цилиндра через его образующую сторону. Теперь найдем длину диагонали осевого сечения цилиндра D:

D = 2r = 2R tg 60° = 2R √3 ≈ 3.464R.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:

S = 0.5 r D = 0.5 R tg 60° 2R tg 60° = R^2 * tg^2 60°.

Подставим значение tg 60° = √3 в формулу и получим:

S = R^2 * 3 ≈ 3R^2.

Таким образом, длина диагонали осевого сечения цилиндра равна примерно 3.464R, а его площадь равна примерно 3R^2.

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть осевое сечение цилиндра, которое представляет собой прямоугольник. Давайте обозначим:

• ( h = 6 ) см — высота цилиндра;
• ( d ) — диагональ осевого сечения;
• ( \theta = 60^\circ ) — угол между диагональю осевого сечения и образующей.

Обозначим радиус основания цилиндра через ( r ), образующая цилиндра равна:

[ l = \sqrt{r^2 + h^2}. ]

Поскольку высота ( h ) и радиус ( r ) образуют прямоугольный треугольник с диагональю осевого сечения ( d ), используя теорему Пифагора, можно записать:

[ d = \sqrt{r^2 + h^2}. ]

Так как диагональ осевого сечения образует угол ( 60^\circ ) с образующей стороной, мы можем использовать тригонометрию:

[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{d}. ]

Подставим значения:

[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{6}{d}. ]

Решая это уравнение, находим:

[ d = 12 \text{ см}. ]

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, которое является прямоугольником, используем формулу площади прямоугольника (( A = h \times 2r )) с учетом того, что:

[ r = \sqrt{d^2 - h^2}. ]

Подставляем найденное значение диагонали и высоту:

[ r = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}. ]

Таким образом, площадь осевого сечения:

[ A = h \times 2r = 6 \times 2 \times 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Итак, длина диагонали осевого сечения цилиндра равна 12 см, а его площадь составляет ( 72\sqrt{3} \text{ см}^2 ).