Вычислите скалярное произведение векторов если , а = 3/4, b= 5/6 угол между векторами равен 135°.

Скалярное произведение (или dot product) двух векторов можно вычислить по формуле:

[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta), ]

где ( |\mathbf{A}| ) и ( |\mathbf{B}| ) — длины (модули) векторов, а ( \theta ) — угол между ними.

В данном случае у нас есть два вектора, и нам известны их длины:

• ( a = \frac{3}{4} )
• ( b = \frac{5}{6} )

Угол между векторами составляет ( 135^\circ ).

1. Вычислим косинус угла ( 135^\circ ):

[ \cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.7071. ]

1. Теперь подставим значения длины векторов и значение косинуса в формулу для скалярного произведения:

[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta). ]

Подставим известные значения:

[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \left(\frac{3}{4}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). ]

1. Выполним умножение:

Сначала умножим длины векторов:

[ \left(\frac{3}{4}\right) \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}. ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \frac{5}{8} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{5}{8\sqrt{2}}. ]

1. Упростим результат:

Можно умножить числитель и знаменатель на (\sqrt{2}):

[ -\frac{5}{8\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{16}. ]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно:

[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = -\frac{5\sqrt{2}}{16}. ]

Для вычисления скалярного произведения двух векторов, мы используем формулу:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos{\varphi}, ]

где:

• (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины (модули) векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}),
• (\varphi) — угол между векторами,
• (\cos{\varphi}) — косинус этого угла.

Дано:

1. Длина вектора (|\mathbf{a}| = \frac{3}{4}),
2. Длина вектора (|\mathbf{b}| = \frac{5}{6}),
3. Угол между векторами (\varphi = 135^\circ).

Решение:

Шаг 1. Найдём (\cos{135^\circ})

Угол (135^\circ) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Его значение можно определить как:

[ \cos{135^\circ} = \cos{(180^\circ - 45^\circ)} = -\cos{45^\circ}. ]

Известно, что (\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}), поэтому:

[ \cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 2. Подставим значения в формулу

Используем формулу скалярного произведения:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos{\varphi}. ]

Подставляем числа:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). ]

Шаг 3. Упростим выражение

Перемножим дроби:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{15}{24} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). ]

Сократим дробь (\frac{15}{24}) на 3:

[ \frac{15}{24} = \frac{5}{8}. ]

Тогда:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{5}{8} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). ]

Перемножим:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{5\sqrt{2}}{16}. ]

Ответ:

Скалярное произведение векторов равно:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{5\sqrt{2}}{16}. ]