Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор,...

Для вычисления площади основания конуса необходимо найти площадь сектора, который является развёрткой его боковой поверхности. Площадь сектора можно найти по формуле: S = (π r^2 α) / 360, где r - радиус сектора, а α - центральный угол.

Подставим известные значения: r = 9 см, α = 120 градусов. Площадь сектора будет равна: S = (π 9^2 120) / 360 = 27π см^2.

Площадь основания конуса равна площади сектора, то есть 27π см^2.

Высоту конуса можно найти по теореме Пифагора, так как треугольник, образованный радиусом и высотой конуса, является прямоугольным. Пусть h - высота конуса, тогда применяем теорему Пифагора: r^2 = h^2 + L^2, где L - образованная радиусом сторона треугольника.

Подставляем известные значения: r = 9 см. Так как треугольник равнобедренный, то L = r = 9 см. Подставляем и находим высоту: 9^2 = h^2 + 9^2 => h^2 = 81 - 81 => h = √81 = 9 см.

Итак, площадь основания конуса равна 27π см^2, а высота конуса равна 9 см.

Для вычисления площади основания и высоты конуса, используя данные о его развёртке, следует выполнить несколько шагов.

Данные задачи:

1. Радиус сектора (развёртки боковой поверхности конуса) ( R = 9 ) см.
2. Угол дуги сектора ( \theta = 120^\circ ).

Шаги решения:

1. Вычисление длины дуги сектора.

Длина дуги ( L ) сектора может быть найдена по формуле: [ L = 2\pi R \cdot \frac{\theta}{360^\circ} ] Подставим известные значения: [ L = 2\pi \cdot 9 \cdot \frac{120}{360} = 2\pi \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} = 6\pi \text{ см} ]

2. Найдите радиус основания конуса.

Длина дуги развёртки боковой поверхности конуса равна длине окружности основания конуса. Таким образом: [ L = 2\pi r ] где ( r ) — радиус основания конуса. Отсюда: [ 6\pi = 2\pi r \implies r = 3 \text{ см} ]

3. Вычисление площади основания.

Площадь основания ( A ) конуса, которая является площадью круга, рассчитывается по формуле: [ A = \pi r^2 ] Подставим значение радиуса основания: [ A = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ см}^2 ]

4. Вычисление высоты конуса.

Используем теорему Пифагора для вычисления высоты ( h ) конуса, зная радиус основания ( r = 3 ) см и апофему (радиус сектора) ( R = 9 ) см: [ R^2 = r^2 + h^2 ] [ 9^2 = 3^2 + h^2 \implies 81 = 9 + h^2 \implies h^2 = 72 \implies h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} ]

Ответ:

• Площадь основания конуса: ( 9\pi \text{ см}^2 ).
• Высота конуса: ( 6\sqrt{2} \text{ см} ).