Вычислите косинус угла между векторами a(-4;5)и b(5;-4)

Чтобы вычислить косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), нужно воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами. Формула выглядит следующим образом:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Здесь ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) обозначает скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), а ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — их длины соответственно.

1. Вычислим скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 ]

Для векторов ( \mathbf{a}(-4, 5) ) и ( \mathbf{b}(5, -4) ):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 5 + 5 \cdot (-4) = -20 - 20 = -40 ]

1. Вычислим длину вектора ( \mathbf{a} ):

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} ]

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} ]

1. Вычислим длину вектора ( \mathbf{b} ):

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} ]

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} ]

1. Подставляем полученные значения в формулу для косинуса:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{-40}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-40}{41} ]

Таким образом, косинус угла между векторами ( \mathbf{a}(-4, 5) ) и ( \mathbf{b}(5, -4) ) равен:

[ \cos \theta = \frac{-40}{41} ]

Для вычисления косинуса угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a b) / (|a| |b|),

где a и b - это векторы, (a * b) - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

Для векторов a(-4;5) и b(5;-4) скалярное произведение будет равно:

a b = (-4 5) + (5 * -4) = -20 - 20 = -40.

Длины векторов a и b будут равны:

|a| = √((-4)^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41, |b| = √(5^2 + (-4)^2) = √(25 + 16) = √41.

Подставляем значения в формулу:

cos(θ) = -40 / (√41 * √41) = -40 / 41.

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -40 / 41.