Вписанный угол окружности длиной 36пи см равен 35градусов. Найдите: а)длину дуги, на которую опирается...

Для решения задачи нам нужно использовать несколько формул, связанных с кругом, дугами и секторами.

Дано:

1. Длина окружности ( C = 36\pi ) см.
2. Вписанный угол ( \alpha = 35^\circ ).

Найти: а) Длину дуги, на которую опирается этот угол. б) Площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Шаг 1: Найти радиус окружности

Сначала найдем радиус ( R ) окружности. Формула длины окружности: [ C = 2\pi R ]

Подставляем известное значение длины окружности: [ 36\pi = 2\pi R ]

Разделим обе стороны уравнения на ( 2\pi ): [ R = \frac{36\pi}{2\pi} = 18 \text{ см} ]

Шаг 2: Длина дуги

Вписанный угол в окружности равен половине центрального угла, на который он опирается. То есть центральный угол ( \theta ) будет: [ \theta = 2 \alpha = 2 \times 35^\circ = 70^\circ ]

Для нахождения длины дуги используем формулу длины дуги ( L ): [ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R ]

Подставляем все известные значения: [ L = \frac{70^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 18 \text{ см} ]

Сократим дробь: [ L = \frac{7}{36} \cdot 36\pi = 7\pi \text{ см} ]

Итак, длина дуги ( L ) равна ( 7\pi ) см.

Шаг 3: Площадь сектора

Площадь сектора ( S ) можно найти по формуле: [ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 ]

Подставляем известные значения: [ S = \frac{70^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (18 \text{ см})^2 ]

Выполним вычисления: [ S = \frac{7}{36} \cdot \pi \cdot 324 \text{ см}^2 ] [ S = \frac{7 \cdot 324}{36} \cdot \pi ] [ S = 63 \pi \text{ см}^2 ]

Итак, площадь сектора ( S ) равна ( 63\pi ) см².

Ответ:

а) Длина дуги, на которую опирается угол, равна ( 7\pi ) см. б) Площадь сектора, ограниченного этой дугой, равна ( 63\pi ) см².

а) Для нахождения длины дуги, на которую опирается вписанный угол, воспользуемся формулой длины дуги окружности: L = r α, где L - длина дуги, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах. Из условия известно, что длина окружности равна 36π см, следовательно, радиус окружности r = 36 см / 2π = 18 см. Переведем угол из градусов в радианы: α = 35° π / 180 = 35π / 180 рад. Теперь можем найти длину дуги: L = 18 * (35π / 180) ≈ 11.19 см.

б) Площадь сектора можно найти по формуле: S = (r^2 α) / 2, где S - площадь сектора, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах. Подставим известные значения: S = (18^2 35π / 180) / 2 ≈ 99.71 см^2.

Итак, длина дуги, на которую опирается вписанный угол, составляет примерно 11.19 см, а площадь сектора, ограниченного этой дугой, равна приблизительно 99.71 см^2.