Вокруг окружности описана прямоугольная трапеция, длины оснований которой равны 8 и 12. Найдите радиус...

Радиус окружности равен 5.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством трапеции, описанной вокруг окружности. Это свойство гласит, что сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Это возможно только в случае равнобокой трапеции.

Обозначим длины боковых сторон равнобокой трапеции через (a) (так как они равны). Тогда, по свойству описанной трапеции, имеем:

[ 8 + 12 = 2a ]

Отсюда находим, что:

[ 20 = 2a \implies a = 10 ]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в трапецию, воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в равнобедренную трапецию. Радиус (r) выражается через полупериметр (p) и высоту (h) трапеции:

[ r = \frac{S}{p} ]

где (S) — площадь трапеции, а (p) — полупериметр трапеции. Полупериметр для нашей трапеции равен:

[ p = \frac{8 + 12 + 10 + 10}{2} = 20 ]

Теперь найдём высоту (h) трапеции. Для этого используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, образованных высотой и отрезками основания. Если обозначить отрезок основания, прилегающий к одному из боковых сторон, как (x), то имеем:

[ x + (12 - x) = 8 ]

Решая это уравнение, получаем, что (x = 4). Теперь, по теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой (10), катетами (h) и (4), имеем:

[ h^2 + 4^2 = 10^2 ]

[ h^2 + 16 = 100 ]

[ h^2 = 84 ]

[ h = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} ]

Теперь, зная высоту, можем найти площадь (S) трапеции:

[ S = \frac{(8 + 12) \cdot h}{2} = 10 \cdot 2\sqrt{21} = 20\sqrt{21} ]

Теперь находим радиус (r):

[ r = \frac{S}{p} = \frac{20\sqrt{21}}{20} = \sqrt{21} ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данную равнобедренную трапецию, равен (\sqrt{21}).

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольной трапеции и окружности.

Из свойств прямоугольной трапеции известно, что диагонали равны и перпендикулярны друг другу. Пусть одна из диагоналей равна 8, а другая - 12. Так как они равны, то примем обозначим их общую длину за d.

Также известно, что диагональ прямоугольной трапеции является диаметром описанной окружности. Из этого следует, что d = 2r, где r - радиус окружности.

Из уравнения диагоналей прямоугольной трапеции (теорема Пифагора) мы можем составить уравнение: 8^2 + 12^2 = d^2 64 + 144 = d^2 208 = d^2 d = √208 d = 4√13

Так как d = 2r, то 4√13 = 2r r = 2√13

Таким образом, радиус данной окружности равен 2√13.