Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка M такая, что угол MBC равен 30,...

Угол AMC равен 40.

Для решения этой задачи рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) и точку ( M ) внутри него. Нам даны следующие условия:

1. ( \triangle ABC ) — равнобедренный треугольник с основанием ( BC ).
2. ( \angle BAC = 80^\circ ).
3. ( \angle MBC = 30^\circ ).
4. ( \angle MCB = 10^\circ ).

Нужно найти угол ( \angle AMC ).

Так как треугольник ( ABC ) равнобедренный с основанием ( BC ), то углы при основании равны:

[ \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ. ]

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle MBC ). Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), поэтому:

[ \angle BMC = 180^\circ - \angle MBC - \angle MCB = 180^\circ - 30^\circ - 10^\circ = 140^\circ. ]

Теперь перейдем к треугольнику ( \triangle AMC ). Нам нужно найти ( \angle AMC ). Для этого используем правило о сумме внешнего угла треугольника:

[ \angle AMC = \angle ABC + \angle BMC. ]

Подставим известные значения:

[ \angle AMC = 50^\circ + 140^\circ = 190^\circ. ]

Однако такой ответ не может быть правильным, так как угол в треугольнике не может быть больше ( 180^\circ ). Это указывает на то, что мы неправильно применили формулу. Исправим это, рассматривая сумму углов в треугольнике ( \triangle AMC ):

Из суммы углов треугольника:

[ \angle AMC = 180^\circ - \angle CAM - \angle ACM. ]

Так как ( \angle CAM = \angle BAC - \angle BAM ) и ( \angle ACM = \angle ACB - \angle MCB ), а ( \angle BAM = 30^\circ ), то:

[ \angle CAM = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ, ]

а

[ \angle ACM = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ. ]

Теперь можем найти угол ( \angle AMC ):

[ \angle AMC = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle AMC ) равен ( 90^\circ ).

Для решения данной задачи воспользуемся свойством треугольника, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Итак, у нас имеется равнобедренный треугольник ABC с углом ВАС, равным 80 градусам. Так как треугольник равнобедренный, то угол В равен углу С, а значит, угол А равен 180 - 2*80 = 20 градусам.

Теперь обратимся к треугольнику BMC. Угол MBC равен 30 градусам, угол MCB равен 10 градусам. Таким образом, угол BMC равен 180 - 10 - 30 = 140 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Угол MAC равен углу ВАС, то есть 80 градусам. Угол MCA равен 180 - 80 - 20 = 80 градусам.

Наконец, чтобы найти угол AMC, воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, угол AMC равен 180 - 80 - 80 = 20 градусам.

Итак, угол AMC равен 20 градусам.