Вершины равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом при основании 75° лежат на сфере, радиус...

Расстояние от центра сферы до плоскости равнобедренного треугольника равно радиусу сферы, то есть 13 см.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости равнобедренного треугольника, мы можем использовать метод проекции центра сферы на плоскость треугольника.

1. Определим основные параметры треугольника:

   • Основание треугольника ( AB = 12 ) см.
   • Углы при основании ( \angle BAC = \angle BCA = 75^\circ ).

2. Найдем высоту треугольника:

   • Поскольку треугольник равнобедренный, высота ( h ) из вершины ( C ) на основание ( AB ) будет также медианой и биссектрисой.
   • Обозначим длину отрезка ( AD = BD = \frac{AB}{2} = 6 ) см.
   • Используем тригонометрическую функцию косинуса для нахождения высоты: [ \cos(75^\circ) = \frac{AD}{AC} = \frac{6}{AC} ]
   • Сначала найдем сторону ( AC ) треугольника: [ AC = \frac{6}{\cos(75^\circ)} ]
   • Теперь найдем высоту: [ h = AC \cdot \sin(75^\circ) = \frac{6 \cdot \sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)} = 6 \cdot \tan(75^\circ) ]

3. Рассмотрим проекцию центра сферы:

   • Пусть ( O ) — центр сферы и ( H ) — точка проекции ( O ) на плоскость треугольника.
   • Расстояние от ( O ) до ( H ) равно искомому расстоянию от центра сферы до плоскости треугольника.
   • В треугольнике ( OHC ), ( OC = 13 ) см (радиус сферы), а ( HC = h ).

4. Используем теорему Пифагора для нахождения ( OH ): [ OH^2 + HC^2 = OC^2 ] [ OH^2 + (6 \cdot \tan(75^\circ))^2 = 13^2 ] [ OH^2 = 169 - 36 \cdot \tan^2(75^\circ) ]

   • Вычисляем точное значение ( \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3} ).

5. Подставляем и упрощаем: [ OH^2 = 169 - 36 \cdot (2 + \sqrt{3})^2 ] [ OH = \sqrt{169 - 36 \cdot (7 + 4\sqrt{3})} ]

   • Упростим: [ OH = \sqrt{169 - 252 - 144\sqrt{3}} ]
   • Это значение требует точных вычислений для нахождения конечного результата.

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника можно найти, используя вышеописанный метод. Для окончательного ответа потребуется точное вычисление значения корня, учитывая все промежуточные вычисления.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту равнобедренного треугольника, а затем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости.

1. Найдем высоту треугольника. Для этого воспользуемся формулой для нахождения высоты равнобедренного треугольника: h = a sin(α), где а - основание треугольника, α - угол при основании. h = 12 sin(75°) ≈ 11.36 см.

2. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно модулю произведения радиуса сферы на косинус угла между радиусом и нормалью к плоскости треугольника. Так как центр сферы и центр основания треугольника совпадают, а нормаль к плоскости треугольника проходит через центр основания и вершину треугольника, то угол между радиусом и нормалью равен 90°.

3. Итак, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно: d = |13 * cos(90°)| = 13 см.

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости равнобедренного треугольника составляет 13 см.