Вершинами четырехугольника ABCD являются точки А(0;0), В (1;2), С(2;0) ,D(1;-2) . докажите , что данный...

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны. Давайте найдем длины всех сторон и убедимся, что они равны.

Длины сторон в декартовой системе координат можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)):

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Теперь применим эту формулу к каждой паре вершин четырёхугольника ABCD.

Длина стороны AB:

Точки ( A(0, 0) ) и ( B(1, 2) ):

[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]

Длина стороны BC:

Точки ( B(1, 2) ) и ( C(2, 0) ):

[ BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]

Длина стороны CD:

Точки ( C(2, 0) ) и ( D(1, -2) ):

[ CD = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]

Длина стороны DA:

Точки ( D(1, -2) ) и ( A(0, 0) ):

[ DA = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]

Итак, мы видим, что все четыре стороны четырёхугольника ABCD равны и каждая из них имеет длину (\sqrt{5}).

Поскольку все стороны равны, четырёхугольник ABCD является ромбом.

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является ромбом, нам необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Все стороны равны между собой.
2. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам.

Для начала найдем длины всех сторон четырехугольника ABCD, используя координаты вершин.

AB = √((1-0)^2 + (2-0)^2) = √5 BC = √((2-1)^2 + (0-2)^2) = √5 CD = √((1-2)^2 + (-2-0)^2) = √5 DA = √((0-1)^2 + (0+2)^2) = √5

Таким образом, мы видим, что все стороны четырехугольника ABCD равны между собой.

Теперь проверим диагонали. Найдем координаты середины диагоналей AC и BD:

AC: ((0+2)/2; (0+0)/2) = (1;0) BD: ((1+1)/2; (2-2)/2) = (1;0)

Мы видим, что координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, что означает, что диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.

Таким образом, у нас выполнены оба условия для ромба: все стороны равны между собой, и диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD является ромбом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой. Для этого можно вычислить длины сторон AB, BC, CD и DA, и убедиться, что они равны.