Вершина А треугольника АВС лежит в плоскости а, вершины В и С расположены по одну сторону от этой плоскости....

Длина DD1 равна 6 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством медианы треугольника. Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, в отношении 2:1.

Поскольку отрезок AD - медиана треугольника, то отношение длины отрезка BD к отрезку CD равно 2:1. Таким образом, можно предположить, что отрезок D1D делит отрезок CC1 в том же отношении.

Известно, что CC1 = 12 см, а BC = 2 см, значит BD = 8 см. Так как отношение BD к CD равно 2:1, то CD = 4 см.

Теперь мы знаем, что DD1 = CD1, так как DD1 является параллельной прямой к CD1. Таким образом, DD1 = 4 см.

Итак, мы получили, что длина отрезка DD1 равна 4 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей, а также свойством медианы треугольника.

1. Так как $AD$ является медианой треугольника $ABC$, точка $D$ делит отрезок $BC$ на две равные части. То есть, $BD=DC$.

2. Прямые $B{B}_1$, $D{D}_1$, $C{C}_1$ параллельны между собой. Это означает, что отрезки между этими прямыми и плоскостью а разделяются в одинаковом отношении. То есть, отношение расстояний от точек $B$, $D$, $C$ до плоскости а будет одинаковым.

3. Поскольку $BD=DC$, и $B{B}_1$ параллельно $C{C}_1$, а точка $D$ находится посередине между $B$ и $C$, расстояние от $D$ до плоскости а $тоесть,длина(D{D}_1$) будет равно среднему арифметическому расстояний $B{B}_1$ и $C{C}_1$.

Таким образом, длина $D{D}_1$ вычисляется как среднее арифметическое $B{B}_1$ и $C{C}_1$: $D{D}_1=\frac{B{B}_1+C{C}_1}{2}=\frac{2\text{ см}+12\text{ см}}{2}=\frac{14\text{ см}}{2}=7\text{ см}.$

Ответ: $D{D}_1=7$ см.