Вершина А треугольника АВС лежит в плоскости а, вершины В и С расположены по одну сторону от этой плоскости. Отрезок АD - медиана треугольника АВС. Через точки B, D, C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1, D1, C1 соответственно. Найдите длину DD1, если ВВ1 = 2 см и СС1 = 12 см.
Длина DD1 равна 6 см.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством медианы треугольника. Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, в отношении 2:1.
Поскольку отрезок AD - медиана треугольника, то отношение длины отрезка BD к отрезку CD равно 2:1. Таким образом, можно предположить, что отрезок D1D делит отрезок CC1 в том же отношении.
Известно, что CC1 = 12 см, а BC = 2 см, значит BD = 8 см. Так как отношение BD к CD равно 2:1, то CD = 4 см.
Теперь мы знаем, что DD1 = CD1, так как DD1 является параллельной прямой к CD1. Таким образом, DD1 = 4 см.
Итак, мы получили, что длина отрезка DD1 равна 4 см.
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей, а также свойством медианы треугольника.
Так как (AD) является медианой треугольника (ABC), точка (D) делит отрезок (BC) на две равные части. То есть, (BD = DC).
Прямые (BB_1), (DD_1), (CC_1) параллельны между собой. Это означает, что отрезки между этими прямыми и плоскостью а разделяются в одинаковом отношении. То есть, отношение расстояний от точек (B), (D), (C) до плоскости а будет одинаковым.
Поскольку (BD = DC), и (BB_1) параллельно (CC_1), а точка (D) находится посередине между (B) и (C), расстояние от (D) до плоскости а (то есть, длина (DD_1)) будет равно среднему арифметическому расстояний (BB_1) и (CC_1).
Таким образом, длина (DD_1) вычисляется как среднее арифметическое (BB_1) и (CC_1): [ DD_1 = \frac{BB_1 + CC_1}{2} = \frac{2 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}. ]
Ответ: (DD_1 = 7) см.
