В треугольнике СDМ СD=10 см , уголD=45 градусов ,угол М =60 градусов .Длина стороны СМ равна.

Для решения задачи найдем длину стороны ( CM ) в треугольнике ( CDM ), где ( CD = 10 ) см, угол ( D = 45^\circ ) и угол ( M = 60^\circ ). Сначала определим третий угол ( C ) треугольника, используя сумму углов треугольника:

[ \angle C = 180^\circ - \angle D - \angle M = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ ]

Теперь у нас есть все углы треугольника ( CDM ) и одна сторона. Для нахождения длины стороны ( CM ) можно использовать теорему синусов, которая гласит, что в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

[ \frac{CD}{\sin \angle C} = \frac{CM}{\sin \angle D} ]

Подставим известные значения в эту пропорцию:

[ \frac{10}{\sin 75^\circ} = \frac{CM}{\sin 45^\circ} ]

Теперь нам нужно найти значения синусов углов:

[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Подставим эти значения в пропорцию:

[ \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{CM}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим это уравнение:

[ 10 \cdот \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = CM \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} ]

[ 40 \cdot \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = CM \cdot \sqrt{2} ]

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (\sqrt{6} - \sqrt{2}), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

[ \frac{40 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = CM \cdot \sqrt{2} ]

[ \frac{40 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = CM \cdot \sqrt{2} ]

[ \frac{40 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = CM \cdot \sqrt{2} ]

[ 10 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = CM \cdot \sqrt{2} ]

Разделим обе стороны на (\sqrt{2}):

[ CM = \frac{10 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} ]

Упростим выражение:

[ CM = 10 \left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 10 (\sqrt{3} - 1) ]

Таким образом, длина стороны ( CM ) равна ( 10 (\sqrt{3} - 1) ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника СDМ, используя то, что сумма углов треугольника равна 180 градусов: Угол C = 180 - 45 - 60 = 75 градусов.

Теперь можем применить теорему синусов: CD/sinD = CM/sinM = MD/sinC

Подставляем известные значения: 10/sin45 = CM/sin60

Выразим CM: CM = 10 sin60 / sin45 ≈ 10 0.866 / 0.707 ≈ 12.99 см

Итак, длина стороны СМ равна приблизительно 12.99 см.