В треугольнике АВС вектор АВ=3е1 - 4е2, вектор ВС=е1+5е2. Вычислить длину его высоты вектора СН,если...

Длина высоты треугольника равна произведению длины стороны, к которой она проведена, на синус угла между этой стороной и высотой. Так как векторы е1 и е2 взаимно перпендикулярны, то синус угла между ними равен 1. Длина стороны ВС равна корню из суммы квадратов координат вектора ВС: √(1^2 + 5^2) = √26. Следовательно, длина высоты CH равна 26.

Чтобы найти длину высоты ( CH ) в треугольнике ( ABC ), сначала необходимо определить длину стороны ( AC ) и площадь треугольника ( ABC ).

1. Найдем вектор ( AC ):

   Вектор ( AC ) можно найти, сложив векторы ( AB ) и ( BC ):

   [ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (3\mathbf{e_1} - 4\mathbf{e_2}) + (\mathbf{e_1} + 5\mathbf{e_2}) = 4\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2} ]

2. Вычислим длину стороны ( AC ):

   Поскольку (\mathbf{e_1}) и (\mathbf{e_2}) — взаимно перпендикулярные орты, длина вектора ( AC ) равна:

   [ |\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} ]

3. Вычислим площадь треугольника ( ABC ):

   Площадь треугольника можно найти как половину модуля векторного произведения векторов ( AB ) и ( BC ):

   [ [\vec{AB}, \vec{BC}] = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} \ 3 & -4 \ 1 & 5 \end{vmatrix} = (3 \cdot 5) - (1 \cdot -4) = 15 + 4 = 19 ]

   Площадь треугольника:

   [ S = \frac{1}{2} \times |19| = \frac{19}{2} ]

4. Найдем длину высоты ( CH ):

   Высота ( CH ) опущена на сторону ( AB ). Вспомним, что площадь треугольника также может быть выражена через основание и высоту:

   [ S = \frac{1}{2} \times |\vec{AB}| \times CH ]

   Длина вектора ( AB ) равна:

   [ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

   Подставим известные значения в формулу площади:

   [ \frac{19}{2} = \frac{1}{2} \times 5 \times CH ]

   Умножая обе стороны уравнения на 2, получаем:

   [ 19 = 5 \times CH ]

   Таким образом, длина высоты ( CH ) равна:

   [ CH = \frac{19}{5} ]

   Следовательно, длина высоты ( CH ) равна ( 3.8 ).

Для начала найдем вектор AC, используя свойство треугольника: AC = AB + BC.

AB = 3e1 - 4e2 BC = e1 + 5e2

AC = AB + BC = (3e1 - 4e2) + (e1 + 5e2) = 4e1 + e2

Теперь найдем длину вектора AC:

|AC| = √((4)^2 + (1)^2) = √(16 + 1) = √17

Теперь найдем высоту треугольника от вершины C. Для этого воспользуемся формулой для высоты треугольника, проведенной из вершины C:

H = (|AC| * |ВС|) / |AB|

H = (√17 * √26) / √(3^2 + (-4)^2) = √442 / 5

Итак, длина высоты треугольника равна √442 / 5.