В треугольнике авс угол с равен 90 градусов cosA корень их 15/4 найдите cos B

Давайте разберем задачу подробно и пошагово.

У нас есть треугольник ( \triangle ABC ), в котором угол ( C = 90^\circ ). Это означает, что треугольник прямоугольный. В прямоугольном треугольнике выполняется несколько важных свойств, которые мы будем использовать для решения.

Дано:

• Угол ( C = 90^\circ ),
• ( \cos A = \frac{\sqrt{15}}{4} ).

Нужно найти ( \cos B ).

Шаг 1. Свойства углов в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), то есть: [ A + B = 90^\circ. ] Отсюда угол ( B = 90^\circ - A ).

Шаг 2. Связь между косинусами углов

В тригонометрии существует связь между косинусами дополнительных углов (таких, сумма которых равна ( 90^\circ )): [ \cos(90^\circ - x) = \sin x. ] Применяя это свойство к нашим углам ( A ) и ( B ), получаем: [ \cos B = \sin A. ]

Теперь нам нужно найти ( \sin A ), чтобы определить ( \cos B ).

Шаг 3. Связь между ( \sin ) и ( \cos ) для угла ( A )

Для любого угла ( A ) в треугольнике выполняется основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 A + \cos^2 A = 1. ] Нам известно, что ( \cos A = \frac{\sqrt{15}}{4} ). Подставим это значение в тождество: [ \sin^2 A + \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2 = 1. ] Рассчитаем квадрат косинуса: [ \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2 = \frac{15}{16}. ] Теперь подставим в уравнение: [ \sin^2 A + \frac{15}{16} = 1. ] Вычтем ( \frac{15}{16} ) из 1: [ \sin^2 A = 1 - \frac{15}{16} = \frac{16}{16} - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}. ] Теперь найдем ( \sin A ): [ \sin A = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}. ]

Шаг 4. Найдем ( \cos B )

Как мы установили ранее, ( \cos B = \sin A ). Подставим найденное значение: [ \cos B = \frac{1}{4}. ]

Ответ:

[ \cos B = \frac{1}{4}. ]

В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, выполняется следующее соотношение:

[ \cos A + \cos B = 1 ]

Если дано, что (\cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}), то можно найти (\cos B):

[ \cos B = 1 - \cos A = 1 - \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{4}{4} - \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{4 - \sqrt{15}}{4} ]

Таким образом, (\cos B = \frac{4 - \sqrt{15}}{4}).

В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения косинуса угла B.

Дано:

• Угол C = 90°
• cos A = √15/4

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, сумма углов A и B равна 90° (угол C уже равен 90°), поэтому мы можем использовать соотношение:

[ \cos B = \sin A ]

Чтобы найти sin A, воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]

Подставим значение cos A:

[ \sin^2 A + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 ]

Рассчитаем квадрат косинуса:

[ \sin^2 A + \frac{15}{16} = 1 ]

Теперь выразим sin^2 A:

[ \sin^2 A = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} ]

Теперь найдем sin A:

[ \sin A = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} ]

Теперь, используя соотношение, находим cos B:

[ \cos B = \sin A = \frac{1}{4} ]

Таким образом, мы нашли значение косинуса угла B:

[ \cos B = \frac{1}{4} ]