В треугольнике АВС угол С=90,АВ=10, тангенс А=√21/2,найдите АС

В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) с прямым углом ( C ), мы знаем, что ( \angle C = 90^\circ ), ( AB = 10 ), и ( \tan A = \frac{\sqrt{21}}{2} ). Нам нужно найти длину стороны ( AC ).

1. Определение тангенса угла: [ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} ] Подставим известное значение: [ \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{21}}{2} ]

2. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] Подставим ( AB = 10 ): [ 10^2 = AC^2 + BC^2 ] [ 100 = AC^2 + BC^2 ]

3. Выразим ( BC ) через ( AC ) из уравнения тангенса: [ BC = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot AC ]

4. Подставим выражение для ( BC ) в теорему Пифагора: [ 100 = AC^2 + \left(\frac{\sqrt{21}}{2} \cdot AC\right)^2 ] [ 100 = AC^2 + \frac{21}{4} \cdot AC^2 ] [ 100 = AC^2 \left(1 + \frac{21}{4}\right) ] [ 100 = AC^2 \cdot \frac{25}{4} ]

5. Решаем уравнение для ( AC^2 ): [ 100 = \frac{25}{4} \cdot AC^2 ] [ AC^2 = \frac{100 \cdot 4}{25} ] [ AC^2 = 16 ] [ AC = \sqrt{16} ] [ AC = 4 ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна 4.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и определением тангенса.

Известно, что угол C = 90 градусов, следовательно, треугольник ABC является прямоугольным. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AC: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 10^2 + BC^2 AC^2 = 100 + BC^2

Также нам известно, что тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg(A) = BC / AB √21 / 2 = BC / 10 BC = 10 * √21 / 2 BC = 5√21

Подставим найденное значение BC в уравнение для длины гипотенузы: AC^2 = 100 + (5√21)^2 AC^2 = 100 + 25 * 21 AC^2 = 100 + 525 AC^2 = 625 AC = √625 AC = 25

Итак, длина стороны АС треугольника ABC равна 25.