В треугольнике АВС угол С = 75, что на 15 больше величину угла А, АС = 4 корень из 6 см. Найдите сторону...

Для решения задачи нам необходимо использовать свойства треугольников и тригонометрические функции. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) с углами ( \angle A ), ( \angle B ) и ( \angle C ). В задаче дано:

1. ( \angle C = 75^\circ )
2. ( \angle C ) на 15 градусов больше угла ( \angle A )
3. Длина стороны ( AC = 4\sqrt{6} ) см

Первым делом найдем углы ( \angle A ) и ( \angle B ).

1. Так как ( \angle C ) на 15 градусов больше угла ( \angle A ), запишем это в виде уравнения: [ \angle C = \angle A + 15^\circ ]

2. Также знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ ]

3. Подставим значение ( \angle C ) из первого уравнения: [ \angle A + \angle B + (\angle A + 15^\circ) = 180^\circ ]

4. Упростим уравнение: [ 2\angle A + \angle B + 15^\circ = 180^\circ ]

5. Выразим ( \angle B ) через ( \angle A ): [ \angle B = 180^\circ - 2\angle A - 15^\circ ] [ \angle B = 165^\circ - 2\angle A ]

Теперь найдем угол ( \angle A ):

1. Подставим значение ( \angle C = 75^\circ ): [ \angle A + 75^\circ = 90^\circ ] [ \angle A = 60^\circ ]

Таким образом, у нас есть значения углов: [ \angle A = 60^\circ ] [ \angle C = 75^\circ ] [ \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ ]

Теперь найдем сторону ( BC ) (обозначим её как ( a )) с использованием теоремы синусов:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} ]

Зная значения синусов:

[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим их в уравнение:

[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим:

[ a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} ] [ a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{2}} \cdot 2 ] [ a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 ] [ a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} ] [ a = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ a = 8 \cdot \frac{3}{2} ] [ a = 12 ]

Таким образом, длина стороны ( BC ) составляет 12 см.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Из условия задачи мы знаем, что угол C = 75°, угол A = 60° (так как 75 - 15 = 60). Также известно, что AC = 4√6 см.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC: sinC / BC = sinA / AC

sin75° / BC = sin60° / 4√6

√3/2 / BC = √3/2 / 4√6

BC = 4

Итак, сторона ВС равна 4 см.