В треугольнике АВС сторона ВС=2 под корнем 2, угол А =45,угол В =30 градусов. найдите сторону АС.

Для нахождения стороны AC в треугольнике ABC можно воспользоваться теоремой синусов. По формуле sinA/a = sinB/b = sinC/c, где A, B и C - углы, а a, b и c - стороны противолежащие им углам, находим сторону AC: sin30/2√2 = sin45/c 1/2√2 = √2/2√2/c c = 2

Ответ: сторона AC равна 2.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая в общем виде для треугольника ABC выглядит так:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C), ]

где ( c ) — длина стороны, противоположной углу ( C ), а ( a ) и ( b ) — длины двух других сторон. В нашем случае нам нужно найти сторону ( AC ), обозначим её за ( b ). Также обозначим сторону ( AB ) через ( a ), а сторону ( BC ) через ( c = 2\sqrt{2} ).

Из условия задачи известно, что угол ( A = 45^\circ ) и угол ( B = 30^\circ ). Угол ( C ) можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ. ]

Теперь у нас есть угол ( C = 105^\circ ).

Применим теорему косинусов для стороны ( AC ) (обозначим её как ( b )):

[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(105^\circ). ]

Нам нужно найти ( \cos(105^\circ) ). Напомним, что:

[ \cos(105^\circ) = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ). ]

Используя формулу для синуса суммы:

[ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ). ]

Подставим значения тригонометрических функций:

[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}. ]

Тогда:

[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. ]

Следовательно:

[ \cos(105^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. ]

Теперь подставим это в уравнение теоремы косинусов:

[ b^2 = a^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right). ]

Сначала упростим:

[ (2\sqrt{2})^2 = 8. ]

Теперь подставим:

[ b^2 = a^2 + 8 + \frac{a \cdot 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}. ]

Упростим выражение:

[ b^2 = a^2 + 8 + a \sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}). ]

Это итоговое уравнение, которое выражает ( b^2 ) через ( a ), но без дополнительной информации о стороне ( AB ) (стороне ( a )), мы не можем найти конкретное численное значение для стороны ( AC ). Если известно значение стороны ( AB ), его можно подставить в это уравнение для получения точного результата.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдем третий угол треугольника, используя свойство суммы углов треугольника: угол С = 180 - 45 - 30 = 105 градусов.

Затем найдем сторону АС, обозначим ее за х. Применим теорему синусов к треугольнику АВС: sin A / x = sin C / (2√2) = sin B / 2

sin 45 / x = sin 105 / (2√2) = sin 30 / 2

√2/2x = √6 / (2√2) = 1/2

Отсюда получаем, что x = √3.

Итак, сторона АС равна √3.