В треугольнике АВС на стороне АВ в треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что BD: ВА...

Рассмотрим треугольник (ABC) с выбранной точкой (D) на стороне (AB), такой что (BD:BA = 1:3). Это означает, что точка (D) делит отрезок (AB) в отношении (1:2), так как (BD = \frac{1}{3}BA) и (AD = \frac{2}{3}BA).

а) Доказательство подобия треугольников (DBD_1) и (ABC)

Для начала определим положение точки (D_1). Плоскость, проходящая через точку (D) и параллельная прямой (AC), пересекает отрезок (BC) в точке (D_1). Поскольку данная плоскость параллельна прямой (AC), она также параллельна стороне (AC) треугольника (ABC). В этом случае отрезок (DD_1) будет параллелен (AC).

Рассмотрим треугольник (ABD) и треугольник (BD_1D). В этих треугольниках:

• (AD) параллельно (D_1D) (по условию задачи),
• углы (A) и (D_1) (при вершинах (A) и (D_1)) равны, так как они вертикальны,
• углы (D) и (D_1) также равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых (AD) и (D_1D).

Таким образом, треугольники (ABD) и (BD_1D) подобны по двум углам. Это означает, что треугольник (DBD_1) подобен треугольнику (ABC) по двум углам, а также по отношению сторон.

б) Найти (AC), если (DD_1 = 4 \text{ см})

Так как треугольники (DBD_1) и (ABC) подобны, отношение их соответствующих сторон будет равно отношению 1:3.

Пусть (AC = x). Поскольку (DD_1) параллельно (AC) и делит (BC) в том же отношении, что и (BD) делит (AB), то: [ \frac{DD_1}{AC} = \frac{1}{3} ]

Зная, что (DD_1 = 4 \text{ см}), можем записать: [ \frac{4}{x} = \frac{1}{3} ]

Отсюда: [ 4 = \frac{x}{3} ] [ x = 4 \cdot 3 ] [ x = 12 \text{ см} ]

Таким образом, длина (AC) равна (12 \text{ см}).

а) Для доказательства подобия треугольников DBD1 и ABC, нам нужно показать, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

1. Рассмотрим углы: Угол DBD1 равен углу ABC, так как они соответственные вертикальные углы. Угол D1BD равен углу ACB, так как они соответственные углы при параллельных прямых. Угол D1DB равен углу BAC, так как они соответственные углы при параллельных прямых.

Таким образом, мы показали, что углы треугольников DBD1 и ABC соответственные и равны, следовательно, эти треугольники подобны.

б) Так как треугольники DBD1 и ABC подобны, то отношение сторон BD и BA должно быть равно отношению сторон D1D и AC:

BD/BA = D1D/AC 1/3 = 4/AC

Отсюда находим AC:

AC = 4 * 3 / 1 = 12 см

Итак, длина отрезка AC равна 12 см.