В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так что ВК:КМ=8:5. Прямая АК пересекает ВС в точке...

Рассмотрим треугольник (ABC) с медианой (BM), которая делит сторону (AC) на два равных отрезка: (AM = MC). На этой медиане отмечена точка (K) так, что (BK:KM = 8:5). Прямая (AK) пересекает сторону (BC) в точке (R). Нам нужно найти отношение площади треугольника (BKR) к площади треугольника (AKM).

1. Определение положения точки (K) на медиане (BM): Поскольку (BM) — медиана, то (M) делит (AC) пополам, и (AM = MC). Отношение (BK:KM = 8:5) означает, что точка (K) делит медиану (BM) в отношении (8:5).

2. Площадь треугольников:

   • Треугольники, имеющие общий угол и расположенные на одной прямой, будут иметь площади, пропорциональные отрезкам, на которые делится противоположная сторона.

3. Использование теоремы о медиане: Медиана (BM) в треугольнике делит его на два треугольника (ABM) и (BCM) с равными площадями, так как медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

4. Отношение отрезков и площадей: Так как (K) делит (BM) в отношении (8:5), то и площади треугольников (BKM) и (KMC) будут относиться как (8:5).

5. Введение координатной системы: Пусть точка (A) имеет координаты ((0, 0)), точка (B) — ((b, 0)), и точка (C) — ((c, h)). Точка (M) на медиане (BM) будет иметь координаты (\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right)).

6. Координаты точки (K): Точка (K) делит медиану (BM) в отношении (8:5), и её координаты можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении: [ K = \left( \frac{8b + 5\frac{b+c}{2}}{8+5}, \frac{8 \cdot 0 + 5 \frac{h}{2}}{8+5} \right) = \left(\frac{16b + 5b + 5c}{26}, \frac{5h}{26}\right) = \left(\frac{21b + 5c}{26}, \frac{5h}{26}\right) ]

7. Определение точки пересечения прямой с одной из сторон треугольника: Прямая (AK) пересекает сторону (BC) в точке (R). Используя принцип подобия треугольников, можно определить, что отношение (AR:RK) будет таким же, как (AK:KM).

8. Отношение площадей треугольников: Поскольку точка (K) делит медиану в отношении (8:5), рассматриваем треугольники (BKR) и (AKM). Треугольник (AKM) будет иметь общую высоту к стороне (BC) с треугольником (BKR).

Отсюда следует, что отношение площадей этих треугольников будет равно отношению оснований, на которые делятся стороны медианы.

Таким образом, отношение площади треугольника (BKR) к площади треугольника (AKM) будет [ \frac{[BKR]}{[AKM]} = \frac{8}{5} ]

Отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ равно 25:64.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами медиан треугольника.

Пусть точка М - середина стороны АС, а точка N - середина стороны АВ. Тогда медиана ВМ является также высотой треугольника АВС, проведенной к стороне АС. Так как ВК:КМ=8:5, то можно записать, что VK=8x, KM=5x. Таким образом, BM=13x.

Так как точка М - середина стороны АС, то можно утверждать, что треугольники ВМК и ВРК подобны, так как у них соответственные стороны пропорциональны (ВК:КМ=8:5 и VM:MK=1:1).

Следовательно, отношение площадей треугольников ВКР и ВМК равно квадрату отношения сторон, то есть (ВК:КМ)^2 = (8:5)^2 = 64:25.

Теперь найдем отношение площадей треугольников ВКР и АКМ. Так как треугольники ВМК и АКМ подобны (по той же причине, что и выше), отношение площадей этих треугольников будет равно квадрату отношения сторон, то есть (ВК:КМ)^2 = (8:5)^2 = 64:25.

Итак, отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ равно 64:25.