В треугольнике авс и дек ав=де,ас=дк,вр=ем где р и м середины сторон ас и дк 1)докажите что треугольник...

Для решения задачи проведем подробный анализ.

1) Доказательство равенства треугольников ABC и DЕK:

В условии дано:

• ( AB = DE ),
• ( AC = DK ),
• ( BP = EM ), где ( P ) и ( M ) — середины сторон ( AC ) и ( DK ) соответственно.

Сначала докажем равенство треугольников ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEK ).

Анализ:

Для доказательства равенства треугольников достаточно показать, что они равны по одному из признаков равенства треугольников:

1. По трём сторонам;
2. По двум сторонам и углу между ними;
3. По стороне и двум прилежащим углам.

В нашем случае даны:

• Равные стороны ( AB = DE ) и ( AC = DK );
• Дополнительно, ( BP ) и ( EM ), где ( BP ) и ( EM ) — медианы, проведённые к равным сторонам (( AC = DK )).

Из условия равенства медиан, а также равенства двух сторон (( AB = DE ), ( AC = DK )), следует, что ( \triangle ABC \cong \triangle DEK ) по признаку двух сторон и медианы. Таким образом, треугольники равны.

2) Найдём площадь треугольника ( \triangle ABC ), если ( EM = 3 \, \text{см} ), ( DK = 4\sqrt{2} ), угол ( \angle EMK = 135^\circ ).

Анализ:

Для нахождения площади треугольника воспользуемся следующим методом.

Шаг 1. Находим длину медианы ( EM ):

( EM ) — это медиана треугольника ( \triangle DEK ), проведённая к стороне ( DK ). В данном случае, длина медианы ( EM ) уже известна: ( EM = 3 \, \text{см} ).

Шаг 2. Выразим площадь треугольника ( \triangle DEK ) через известные данные:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma, ] где ( a ) и ( b ) — длины сторон, а ( \gamma ) — угол между ними.

В данном случае:

• ( a = EM = 3 \, \text{см} ),
• ( b = DK = 4\sqrt{2} \, \text{см} ),
• ( \gamma = \angle EMK = 135^\circ ).

Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin 135^\circ. ]

Значение ( \sin 135^\circ ) известно: [ \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Подставляем: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{2}{2}. ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \, \text{см}^2. ]

Таким образом, площадь треугольника ( \triangle DEK ) (а значит, и ( \triangle ABC ), так как треугольники равны) равна: [ \boxed{6 \, \text{см}^2}. ]

Для решения задачи начнем с доказательства равенства треугольников ( ABC ) и ( DKE ).

1. Доказательство равенства треугольников ( ABC ) и ( DKE )

Из условия задачи мы знаем, что:

• ( AB = DE )
• ( AC = DK )
• ( RP = EM )

Где ( R ) и ( M ) — середины сторон ( AC ) и ( DK ) соответственно. Поскольку ( R ) и ( M ) — середины, то:

• ( AR = RC )
• ( DM = MK )

По свойству средней линии в треугольнике, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен и равен половине третьей стороны. Таким образом, мы можем записать:

• ( EM ) параллелен ( AB ) и ( EM = \frac{1}{2} AC )
• ( RP ) параллелен ( DK ) и ( RP = \frac{1}{2} DE )

Следовательно, ( RP ) и ( EM ) также равны, так как ( RP = EM ).

Теперь у нас есть три равенства:

1. ( AB = DE )
2. ( AC = DK )
3. ( EM = RP )

Согласно критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу, между ними (SAS), треугольники ( ABC ) и ( DKE ) равны.

2. Поиск площади треугольника ( ABC )

Для нахождения площади треугольника ( ABC ) воспользуемся формулой площади через две стороны и угол между ними:

[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) ]

Из условия:

• ( EM = 3 ) см
• ( DK = 4\sqrt{2} ) см
• Угол ( EMK = 135^\circ )

Сначала найдем длины сторон ( AB ) и ( AC ). Поскольку ( EM ) является половиной ( AC ), то: [ AC = 2 \cdot EM = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} ]

Так как ( DK = 4\sqrt{2} ), тогда: [ AB = DK = 4\sqrt{2} \text{ см} ]

Теперь найдем угол ( A ). Угол ( EMK = 135^\circ ), и поскольку ( EM \parallel AB ), угол ( A ) будет равен ( 135^\circ ).

Теперь подставим известные значения в формулу для площади:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 6 \cdot \sin(135^\circ) ]

Угол ( 135^\circ ) имеет синус: [ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) равна ( 12 \text{ см}^2 ).