В треугольнике АВС: Ав=10 см,угол А=45°,угол С=120°.Пользуясь теоремой синусов,запишите выражение для...

Для нахождения стороны ВС в треугольнике АВС по теореме синусов можно воспользоваться следующим выражением:

(\frac{ВС}{\sin С} = \frac{АВ}{\sin В})

где В - угол при стороне ВС.

Для нашего треугольника с углом C = 120° и стороной АВ = 10 см, угол B можно найти, вычитав сумму углов А и С из 180°:

B = 180° - 45° - 120° = 15°

Подставляя известные значения, получаем:

(\frac{ВС}{\sin 120°} = \frac{10}{\sin 15°})

(\frac{ВС}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}})

ВС = (\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}})

По теореме синусов: ( \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} = \frac{BC}{\sin B} )

Выражение для нахождения ВС: ( \frac{10}{\sin 45°} = \frac{BC}{\sin 120°} )

Для решения задачи используем теорему синусов и имеющиеся данные: ( AB = 10 ) см, (\angle A = 45^\circ), (\angle C = 120^\circ).

Вначале найдем угол ( B ). Так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), можем записать: [ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ. ]

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла равно для всех сторон треугольника: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( A, B, C ) — углы, лежащие напротив этих сторон соответственно.

Для нахождения стороны ( BC ) (обозначим её ( a )), запишем: [ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}. ]

Подставим известные значения: [ \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 120^\circ}. ]

Теперь найдём значения синусов: [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Подставим эти значения в уравнение: [ \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. ]

Упростим уравнение: [ BC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}, ] [ BC \cdot \sqrt{2} = \frac{20}{\sqrt{3}}. ]

Избавимся от иррациональности в знаменателе: [ BC \cdot \sqrt{2} = \frac{20 \sqrt{3}}{3}. ]

Наконец, выразим ( BC ): [ BC = \frac{20 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{6}}{6} = \frac{10 \sqrt{6}}{3}. ]

Таким образом, длина стороны ( BC ) равна: [ BC = \frac{10 \sqrt{6}}{3} \text{ см}. ]