В треугольнике АВС: Ав=10 см,угол А=45°,угол С=120°.Пользуясь теоремой синусов,запишите выражение для...

Для нахождения стороны ВС в треугольнике АВС по теореме синусов можно воспользоваться следующим выражением:

$\frac{ВС}{\sin С}=\frac{АВ}{\sin В}$

где В - угол при стороне ВС.

Для нашего треугольника с углом C = 120° и стороной АВ = 10 см, угол B можно найти, вычитав сумму углов А и С из 180°:

B = 180° - 45° - 120° = 15°

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{ВС}{\sin 120°}=\frac{10}{\sin 15°}$

$\frac{ВС}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

ВС = $\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin A}=\frac{AC}{\sin C}=\frac{BC}{\sin B}$

Выражение для нахождения ВС: $\frac{10}{\sin 45°}=\frac{BC}{\sin 120°}$

Для решения задачи используем теорему синусов и имеющиеся данные: $AB=10$ см, $\mathrm{\angle }A={45}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }C={120}^{\circ }$.

Вначале найдем угол $B$. Так как сумма углов в треугольнике равна ${180}^{\circ }$, можем записать: $\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{120}^{\circ }={15}^{\circ }.$

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла равно для всех сторон треугольника: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},$ где $a,b,c$ — стороны треугольника, а $A,B,C$ — углы, лежащие напротив этих сторон соответственно.

Для нахождения стороны $BC$ $обозначимеё(a$), запишем: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}.$

Подставим известные значения: $\frac{BC}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{10}{\sin {120}^{\circ }}.$

Теперь найдём значения синусов: $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {120}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Подставим эти значения в уравнение: $\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$

Упростим уравнение: $BC\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=10\cdot \frac{2}{\sqrt{3}},$ $BC\cdot \sqrt{2}=\frac{20}{\sqrt{3}}.$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $BC\cdot \sqrt{2}=\frac{20\sqrt{3}}{3}.$

Наконец, выразим $BC$: $BC=\frac{20\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{6}}{6}=\frac{10\sqrt{6}}{3}.$

Таким образом, длина стороны $BC$ равна: $BC=\frac{10\sqrt{6}}{3}\text{ см}.$