В треугольнике ABC угол С=90° Ac=4, sinA=корню из 5/5. найдете BC

Для решения задачи нам нужно найти длину катета ( BC ) в прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ), где угол ( C = 90^\circ ), ( AC = 4 ), и задано ( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} ).

Шаг 1. Связь между сторонами и синусом угла

В прямоугольном треугольнике синус угла ( A ) определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: [ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] В данном случае угол ( A ) лежит напротив катета ( BC ), а гипотенузой является ( AB ). Таким образом: [ \sin A = \frac{BC}{AB}. ] Из этого выражения можно выразить ( BC ): [ BC = AB \cdot \sin A. ]

Шаг 2. Поиск гипотенузы ( AB ) с помощью теоремы Пифагора

По условию, треугольник ( ABC ) прямоугольный (угол ( C = 90^\circ )), а значит, теорема Пифагора справедлива: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Однако, чтобы найти ( AB ), нам нужно сначала определить ( BC ). Для этого перейдём к следующему шагу.

Шаг 3. Отношения синуса и косинуса, нахождение ( BC )

Согласно тригонометрическим тождествам в прямоугольном треугольнике, справедливо: [ \sin^2 A + \cos^2 A = 1. ] Нам дано ( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} ). Найдём ( \cos A ): [ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}. ] Следовательно: [ \cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}. ]

В прямоугольном треугольнике косинус угла ( A ) определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: [ \cos A = \frac{AC}{AB}. ] Подставим известные значения: [ \cos A = \frac{AC}{AB} \implies \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{AB}. ] Решим это уравнение относительно ( AB ): [ AB = \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5}} = \frac{20}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}. ]

Шаг 4. Найдём ( BC )

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы ( AB = 2\sqrt{5} ), используем ранее найденное выражение для ( BC ): [ BC = AB \cdot \sin A. ] Подставим значения: [ BC = (2\sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2. ]

Ответ:

Длина катета ( BC ) равна: [ \boxed{2}. ]

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы имеем прямоугольный треугольник. Дано, что AC = 4 и (\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}).

Сначала найдем сторону AB, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике:

[ \sin A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} ]

Поскольку (\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}), можем выразить это уравнение как:

[ \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Это можно переписать как:

[ BC = AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Теперь, чтобы найти AB, воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABC:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим известные значения. Сначала, выразим BC через AB:

[ BC = AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Подставим это в уравнение Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + \left(AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 ]

Подставим (AC = 4):

[ AB^2 = 4^2 + \left(AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 ]

Это равенство можно записать так:

[ AB^2 = 16 + AB^2 \cdot \frac{5}{25} ]

Упростим второе слагаемое:

[ AB^2 = 16 + AB^2 \cdot \frac{1}{5} ]

Теперь умножим оба sides на 5, чтобы избавиться от дроби:

[ 5AB^2 = 80 + AB^2 ]

Переносим (AB^2) на левую сторону:

[ 5AB^2 - AB^2 = 80 ]

Это упрощается до:

[ 4AB^2 = 80 ]

Разделим обе стороны на 4:

[ AB^2 = 20 ]

Теперь найдём AB, взяв квадратный корень:

[ AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Теперь можем найти BC, подставив AB обратно в выражение для BC:

[ BC = (2\sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Упрощаем:

[ BC = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 2 \cdot \frac{5}{5} = 2 ]

Таким образом, длина стороны (BC) равна 2.