В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, высота CH равна 15, BC= 20. Найдите cos (A).

cos (A) = CH / BC = 15 / 20 = 0.75

В треугольнике ( \triangle ABC ) угол ( C ) равен 90 градусов, что делает его прямоугольным треугольником. Дана высота ( CH = 15 ) из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ), и катет ( BC = 20 ).

Чтобы найти ( \cos(A) ), нам нужно определить длину гипотенузы ( AB ) и другой катет ( AC ).

1. Используем теорему Пифагора для треугольника ( \triangle ABC ): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

2. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: Высота ( CH ) делит гипотенузу ( AB ) на два отрезка ( AH ) и ( HB ). При этом: [ CH^2 = AH \cdot HB ]

3. Найдем ( AH ) и ( HB ): Пусть ( AH = x ) и ( HB = y ). Тогда, по свойству высоты: [ x \cdot y = 15^2 = 225 ] Также: [ x + y = AB ]

4. Используем дополнительное свойство: В прямоугольном треугольнике, где высота ( CH ) равна 15, мы можем использовать формулу: [ CH = \frac{a \cdot b}{c} ] где ( a ) и ( b ) - катеты, а ( c ) - гипотенуза.

   Здесь, ( a = AC ), ( b = BC = 20 ), ( c = AB ), и ( CH = 15 ), тогда: [ 15 = \frac{AC \cdot 20}{AB} ] [ AC \cdot 20 = 15 \cdot AB ] [ AC = \frac{15 \cdot AB}{20} = \frac{3}{4} AB ]

5. Подставим в теорему Пифагора: [ AB^2 = \left(\frac{3}{4} AB\right)^2 + 20^2 ] [ AB^2 = \frac{9}{16} AB^2 + 400 ] [ \frac{7}{16} AB^2 = 400 ] [ AB^2 = \frac{400 \times 16}{7} = \frac{6400}{7} ] [ AB = \sqrt{\frac{6400}{7}} ]

6. Найдем ( \cos(A) ): [ \cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{3}{4} AB}{AB} = \frac{3}{4} ]

Таким образом, ( \cos(A) = \frac{3}{4} ).

Для нахождения значения cos(A) воспользуемся теоремой косинусов в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AB: AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 15^2 + 20^2 AB^2 = 225 + 400 AB^2 = 625 AB = √625 AB = 25

Теперь найдем значение cos(A) с помощью косинуса угла A: cos(A) = AC / AB cos(A) = 15 / 25 cos(A) = 0.6

Итак, cos(A) = 0.6.