В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB=4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, нам необходимо воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике:

R = (a b c) / $4\ast S$,

где R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Для начала найдем стороны треугольника ABC. Известно, что AB = 4, угол C = 150°. Используем закон синусов:

sin C / c = sin A / a = sin B / b,

где A, B - углы, противолежащие сторонам a и b.

sin 150° / c = sin A / 4.

sin 150° = sin $180°-30°$ = sin 30° = 1/2.

1/2 / c = sin A / 4.

sin A = sin $180°-A-C$ = sin $180°-A-150°$ = sin $30°-A$.

1/2 / c = sin $30°-A$ / 4.

c = 4 (2 sin $30°-A$).

c = 4 (2 sin 30° cos A - cos 30° sin A).

c = 4 (2 1/2 cos A - sqrt$3$/2 sin A).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sqrt$1-co{s}^{2}A$).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sqrt$1-co{s}^{2}A$).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sqrt$1-co{s}^{2}A$).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sqrt$1-co{s}^{2}A$).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sqrt$1-co{s}^{2}A$).

c = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A).

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона:

S = sqrt(p $p-a$ $p-b$ * $p-c$),

где p - полупериметр треугольника.

p = $a+b+c$ / 2,

p = (4 + 4 + 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A)) / 2,

S = sqrt(6 $2-cosA+sqrt(3$ sin A)).

Теперь можем найти радиус описанной окружности:

R = (a b c) / (4 S) = (4 4 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A)) / (4 sqrt(6 $2-cosA+sqrt(3$ sin A))),

R = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A) / sqrt(6 $2-cosA+sqrt(3$ sin A)),

R = 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A) / sqrt$12-6cosA+6sqrt(3$sin A).

Таким образом, радиус описанной окружности равен 4 $cosA-sqrt(3$/2 sin A) / sqrt$12-6cosA+6sqrt(3$sin A).

В треугольнике ABC угол C равен 150°, и сторона AB равна 4. Чтобы найти радиус окружности, описанной около этого треугольника $радиусописаннойокружности$, можно воспользоваться формулой, связывающей стороны треугольника, угол и радиус описанной окружности.

Формула для нахождения радиуса описанной окружности $R$ треугольника через сторону $a$ и противолежащий ей угол $\alpha$ выглядит следующим образом:

$R=\frac{a}{2\sin (\alpha )}$

В данном случае, если рассматривать сторону $AB$ как $a$ и угол $C$ как противоположный угол $\alpha$, имеем:

• $a=AB=4$
• $\alpha =\mathrm{\angle }C={150}^{\circ }$

Теперь подставим значения в формулу:

$R=\frac{4}{2\sin ({150}^{\circ })}$

Значение $\sin ({150}^{\circ }$ ) известно из тригонометрии:

$\sin ({150}^{\circ })=\sin ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для $R$:

$R=\frac{4}{2\times \frac{1}{2}}=\frac{4}{1}=4$

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4.