В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB=4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, нам необходимо воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике:

R = (a b c) / (4 * S),

где R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Для начала найдем стороны треугольника ABC. Известно, что AB = 4, угол C = 150°. Используем закон синусов:

sin C / c = sin A / a = sin B / b,

где A, B - углы, противолежащие сторонам a и b.

sin 150° / c = sin A / 4.

sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2.

1/2 / c = sin A / 4.

sin A = sin (180° - A - C) = sin (180° - A - 150°) = sin (30° - A).

1/2 / c = sin (30° - A) / 4.

c = 4 (2 sin (30° - A)).

c = 4 (2 sin 30° cos A - cos 30° sin A).

c = 4 (2 1/2 cos A - sqrt(3)/2 sin A).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sqrt(1 - cos^2 A)).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sqrt(1 - cos^2 A)).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sqrt(1 - cos^2 A)).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sqrt(1 - cos^2 A)).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sqrt(1 - cos^2 A)).

c = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A).

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника.

p = (a + b + c) / 2,

p = (4 + 4 + 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A)) / 2,

S = sqrt(6 (2 - cos A + sqrt(3) sin A)).

Теперь можем найти радиус описанной окружности:

R = (a b c) / (4 S) = (4 4 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A)) / (4 sqrt(6 (2 - cos A + sqrt(3) sin A))),

R = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A) / sqrt(6 (2 - cos A + sqrt(3) sin A)),

R = 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A) / sqrt(12 - 6cos A + 6sqrt(3)sin A).

Таким образом, радиус описанной окружности равен 4 (cos A - sqrt(3)/2 sin A) / sqrt(12 - 6cos A + 6sqrt(3)sin A).

В треугольнике ABC угол C равен 150°, и сторона AB равна 4. Чтобы найти радиус окружности, описанной около этого треугольника (радиус описанной окружности), можно воспользоваться формулой, связывающей стороны треугольника, угол и радиус описанной окружности.

Формула для нахождения радиуса описанной окружности ( R ) треугольника через сторону ( a ) и противолежащий ей угол ( \alpha ) выглядит следующим образом:

[ R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)} ]

В данном случае, если рассматривать сторону ( AB ) как ( a ) и угол ( C ) как противоположный угол ( \alpha ), имеем:

• ( a = AB = 4 )
• ( \alpha = \angle C = 150^\circ )

Теперь подставим значения в формулу:

[ R = \frac{4}{2 \sin(150^\circ)} ]

Значение ( \sin(150^\circ) ) известно из тригонометрии:

[ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ]

Теперь подставим это значение в формулу для ( R ):

[ R = \frac{4}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4 ]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4.