В треугольнике ABC угол B=90 градусов, AB=BC, BD-медиана,AC=2корень из 2. Вычислите скалярное произведение...

1) Скалярное произведение векторов BD и AC равно 0. 2) Скалярное произведение векторов BD и BC равно 0. 3) Скалярное произведение векторов BD и самого себя равно квадрату длины вектора BD.

Для решения задачи нам нужно найти длины отрезков и векторы, а затем вычислить скалярные произведения.

1. Находим длины сторон треугольника ABC. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный (AB = BC), то его гипотенуза AC = 2√2. Стороны AB и BC можно найти из теоремы Пифагора: [ AB^2 + BC^2 = AC^2 ] [ 2AB^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 ] [ AB^2 = 4 \rightarrow AB = BC = 2 ]

2. Находим координаты точек. Пусть A(0, 0), B(2, 0), C(0, 2). Тогда:

   • Вектор AC = C - A = (0 - 0, 2 - 0) = (0, 2)
   • Вектор BC = C - B = (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2)

3. Находим вектор BD. Так как D - это середина AC, тогда D((0+0)/2, (2+0)/2) = (0, 1). Вектор BD = D - B = (0 - 2, 1 - 0) = (-2, 1).

4. Вычисляем скалярные произведения.

   • BD на AC: [ BD \cdot AC = (-2, 1) \cdot (0, 2) = (-2 \cdot 0) + (1 \cdot 2) = 0 + 2 = 2 ]
   • BD на BC: [ BD \cdot BC = (-2, 1) \cdot (-2, 2) = (-2 \cdot -2) + (1 \cdot 2) = 4 + 2 = 6 ]
   • BD на BD (квадрат длины вектора BD): [ BD \cdot BD = (-2, 1) \cdot (-2, 1) = (-2 \cdot -2) + (1 \cdot 1) = 4 + 1 = 5 ]

Итак, скалярные произведения векторов BD на AC, BD на BC и BD на BD равны 2, 6 и 5 соответственно.

Для начала найдем длину стороны треугольника BC. Так как AB=BC, то треугольник ABC является равнобедренным, а из условия AC=2√2 следует, что AB=2√2. Таким образом, BC=2√2.

Теперь найдем координаты векторов BD и AC. Пусть точка B имеет координаты (0, 0), тогда точка C имеет координаты (2√2, 0), а точка D – это середина стороны AC, то есть точка (√2, 0). Таким образом, координаты вектора BD равны (√2, 0), а координаты вектора AC равны (2√2, 0).

1. Скалярное произведение векторов BD на AC: BD AC = (√2, 0) (2√2, 0) = √2 2√2 + 0 0 = 2 * 2 = 4

2. Скалярное произведение векторов BD на BC: Так как BD и BC перпендикулярны (медиана треугольника перпендикулярна к стороне, к которой проведена), то их скалярное произведение равно 0.

3. Скалярное произведение векторов BD на BD: BD BD = (√2, 0) (√2, 0) = √2 √2 + 0 0 = 2

Итак, получаем: BD AC = 4 BD BC = 0 BD * BD = 2