В треугольнике ABC угол А равен 90 градусов угол равен 30 градусам а AB равно 6 см найдите стороны треугольника

Давайте подробно разберём задачу.

Условие:

• В треугольнике ABC угол ( \angle A = 90^\circ ), то есть это прямоугольный треугольник.
• Угол ( \angle B = 30^\circ ).
• Длина стороны ( AB = 6 \, \text{см} ), где ( AB ) — катет, прилежащий к углу ( \angle B ).
• Требуется найти длины всех сторон треугольника ( ABC ).

Решение:

1. Свойства треугольника с углом ( 30^\circ ):

В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен ( 30^\circ ), то это треугольник, который является половиной равностороннего треугольника. В таком случае:

• Катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ), равен половине гипотенузы.
• Катет, противолежащий углу ( 30^\circ ), равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от гипотенузы.

Обозначим:

• ( AB ) — катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ),
• ( BC ) — гипотенуза,
• ( AC ) — катет, противолежащий углу ( 30^\circ ).

2. Найдём гипотенузу ( BC ):

По свойству треугольника с углом ( 30^\circ ), гипотенуза в 2 раза больше прилежащего катета: [ BC = 2 \cdot AB. ] Подставляем значение ( AB = 6 ): [ BC = 2 \cdot 6 = 12 \, \text{см}. ]

3. Найдём второй катет ( AC ):

Катет, противолежащий углу ( 30^\circ ), равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от гипотенузы: [ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC. ] Подставляем ( BC = 12 ): [ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \, \text{см}. ]

4. Ответ:

• Гипотенуза ( BC = 12 \, \text{см} ),
• Катет ( AB = 6 \, \text{см} ),
• Катет ( AC = 6\sqrt{3} \, \text{см} ).

Проверка:

Для проверки можно использовать теорему Пифагора: [ BC^2 = AB^2 + AC^2. ] Подставляем значения: [ 12^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2, ] [ 144 = 36 + 108, ] [ 144 = 144. ] Равенство выполняется, значит, решение верное.

Окончательный ответ:

Стороны треугольника:

• ( AB = 6 \, \text{см} ),
• ( AC = 6\sqrt{3} \, \text{см} ),
• ( BC = 12 \, \text{см} ).

В треугольнике ABC, где угол A равен 90 градусов, угол B равен 30 градусам, мы можем определить стороны треугольника, используя свойства прямоугольных треугольников и тригонометрию.

1. Определение угла C: В треугольнике сумма углов равна 180 градусам. Поэтому угол C можно найти следующим образом: [ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. ]

2. Определение сторон: Мы знаем, что сторона AB равна 6 см. В данном треугольнике:

   • Сторона AB – это противолежащая сторона к углу C (60 градусов).
   • Сторона AC – это противолежащая сторона к углу B (30 градусов).
   • Сторона BC – это гипотенуза треугольника.

   Для нахождения сторон можно использовать соотношения в прямоугольном треугольнике с заданными углами.

3. Сторона BC (гипотенуза): По определению синуса, для угла C: [ \sin(C) = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sin(60^\circ) = \frac{6}{BC}. ] Значение (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставляем: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC} \Rightarrow BC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}. ]

4. Сторона AC: По определению синуса для угла B: [ \sin(B) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \sin(30^\circ) = \frac{AC}{4\sqrt{3}}. ] Значение (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), подставляем: [ \frac{1}{2} = \frac{AC}{4\sqrt{3}} \Rightarrow AC = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ см}. ]

5. Итог: Таким образом, стороны треугольника ABC равны:

   • (AB = 6 \text{ см}),
   • (BC = 4\sqrt{3} \text{ см} \approx 6.93 \text{ см}),
   • (AC = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 3.46 \text{ см}).

Эти величины соответствуют заданным углам треугольника и проверяют тригонометрические соотношения.