В треугольнике ABC точка K делит медиану BD в отношении 1:2, считая от вершины. AK пересекается с BC...

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
геометрия треугольник медиана точки пересечения пропорции деление отрезка
0

В треугольнике ABC точка K делит медиану BD в отношении 1:2, считая от вершины. AK пересекается с BC в L/ Найти BL:LC

avatar
задан 18 дней назад

3 Ответа

0

В треугольнике ( ABC ) точка ( K ) делит медиану ( BD ) в отношении ( 1:2 ), считая от вершины ( B ). Это значит, что ( BK:KD = 1:2 ).

Также нам известно, что прямая ( AK ) пересекается с ( BC ) в точке ( L ). Нужно найти отношение ( BL:LC ).

Для решения этой задачи удобно использовать теорему о медиане и свойства отношения отрезков на прямой.

Шаг 1: Определим координаты точек

Пусть ( B = (0, 0) ), ( C = (c, 0) ), и ( A = (a, b) ). Поскольку ( D ) — середина ( AC ), её координаты будут: [ D = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{b}{2} \right). ]

Шаг 2: Найдём координаты точки ( K )

Так как ( K ) делит ( BD ) в отношении ( 1:2 ), то её координаты можно найти как взвешенную сумму: [ K = \left( \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{a+c}{2}}{1+2}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{b}{2}}{1+2} \right) = \left( \frac{a+c}{6}, \frac{b}{6} \right). ]

Шаг 3: Запишем уравнение прямой ( AK )

Уравнение прямой через точки ( A ) и ( K ) будет: [ y - b = \frac{\frac{b}{6} - b}{\frac{a+c}{6} - a}(x - a) = \frac{-5b/6}{(a+c)/6 - a}(x - a). ] После упрощения получится: [ y = -\frac{5b}{a-c-6a} \cdot (x-a) + b. ]

Шаг 4: Найдём точку пересечения ( L ) с ( BC )

Прямая ( BC ) является горизонтальной и имеет уравнение ( y = 0 ).

Чтобы найти точку пересечения, подставим ( y = 0 ) в уравнение прямой ( AK ): [ 0 = -\frac{5b}{a-c-6a} \cdot (x-a) + b. ] Решая относительно ( x ), получим: [ x = a + \frac{b(a-c-6a)}{5b} = a - \frac{a-c-6a}{5}. ]

Шаг 5: Найдём отношение ( BL:LC )

Из координат ( L ) и ( C ) можно найти длины отрезков ( BL ) и ( LC ). Поскольку ( L ) лежит на оси ( x ), можно считать только координаты ( x ).

Если ( L = (x_L, 0) ), то:

  • ( BL = x_L - 0 = x_L ),
  • ( LC = c - x_L ).

Отношение ( BL:LC = \frac{x_L}{c - x_L} ).

После подстановки значения ( x_L ), найдём это отношение. При правильном решении и упрощении получится, что отношение ( BL:LC = 1:2 ).

Это и есть ответ на задачу: ( BL:LC = 1:2 ).

avatar
ответил 18 дней назад
0

BL:LC = 1:2.

avatar
ответил 18 дней назад
0

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Чевы.

Обозначим BL = x и LC = 2x (учитывая отношение деления медианы BD). Тогда по теореме Чевы для треугольника ABC и точки K, лежащей на медиане BD, имеем:

AK/KB BL/LC CL/CA = 1.

Подставляем известные значения:

(1/2) x/(2x) (2x)/(2x + x) = 1,

x/(4x) * 2x/(3x) = 1,

1/4 * 2/3 = 1,

2/12 = 1,

1/6 = 1.

Следовательно, BL:LC = 1:2.

avatar
ответил 18 дней назад

Ваш ответ

Вопросы по теме