В треугольнике ABC со сторонами AB=7см, BC=8см, AC=9см найдите медиану АD. Решить через вектора!

Для нахождения медианы AD в треугольнике ABC через вектора, сначала найдем координаты точек A, B и C. Представим эти точки как вектора:

A = (0, 0) B = (7, 0) C = (c, d)

Так как стороны треугольника параллельны осям координат, то координаты точки C могут быть найдены с помощью теоремы Пифагора:

c^2 + d^2 = 9^2 c^2 + d^2 = 81

Также, так как точка D - середина стороны BC, то ее координаты будут равны среднему арифметическому координат точек B и C:

D = ((7 + c)/2, d/2)

Следовательно, медиана AD будет представлять собой вектор:

AD = D - A = ((7 + c)/2, d/2)

Теперь подставим найденные значения координат точки C в выражение для медианы AD. Получим:

AD = ((7 + c)/2, d/2) - (0, 0) = ((7 + c)/2, d/2)

Таким образом, медиана AD в треугольнике ABC со сторонами AB=7см, BC=8см, AC=9см, найденная через вектора, равна ((7 + c)/2, d/2).

Чтобы решить задачу о нахождении медианы ( AD ) в треугольнике ( ABC ) с использованием векторного подхода, нам сначала нужно определить векторы, соединяющие вершины треугольника, и затем использовать их для вычисления вектора медианы.

Шаг 1: Векторы сторон треугольника

Обозначим:

• ( \vec{AB} ) как вектор от точки ( A ) до точки ( B )
• ( \vec{AC} ) как вектор от точки ( A ) до точки ( C )
• ( \vec{BC} ) как вектор от точки ( B ) до точки ( C )

Шаг 2: Вектор медианы

Медиана ( AD ) треугольника ( ABC ) является отрезком, проведенным из вершины ( A ) к середине противоположной стороны ( BC ). Определим середину стороны ( BC ) векторным способом.

Пусть ( M ) — середина стороны ( BC ). Тогда: [ \vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) ]

Вектор ( \vec{AD} ), который является медианой, можно выразить как: [ \vec{AD} = \vec{M} - \vec{A} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A} ]

Шаг 3: Длина вектора ( \vec{AD} )

Чтобы найти длину медианы ( AD ), нужно вычислить длину вектора ( \vec{AD} ). Однако, в рамках этой задачи, для вычисления длины вектора медианы удобнее использовать формулу Аполлония: [ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} ] где ( m_a ) — длина медианы из вершины ( A ), ( a ), ( b ), и ( c ) — длины сторон ( BC ), ( AC ), и ( AB ) соответственно.

Подставляя значения:

• ( a = 8 ) см
• ( b = 9 ) см
• ( c = 7 ) см

[ m_a^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 7^2 - 8^2}{4} = \frac{2 \cdot 81 + 2 \cdot 49 - 64}{4} = \frac{162 + 98 - 64}{4} = \frac{196}{4} = 49 ] [ m_a = \sqrt{49} = 7 \text{ см} ]

Таким образом, длина медианы ( AD ) равна 7 см.