В треугольнике ABC AC=17 BC=8, а Cos C=15/17. Найти площадь и периметр треугольника. Помогите решить.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой косинусов для нахождения третьего стороны треугольника и формулой Герона для расчета площади.

1. Найдем третью сторону треугольника: Используем формулу косинусов: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab Где a = 17, b = 8, c - искомая сторона треугольника. 15/17 = (17^2 + 8^2 - c^2) / (2 17 8) 15/17 = (289 + 64 - c^2) / 272 15/17 = (353 - c^2) / 272 15 272 = 17 353 - 17c^2 4080 = 6001 - 17c^2 17c^2 = 1921 c = √1921 c ≈ 43.81

2. Найдем площадь треугольника: Полупериметр треугольника: p = (17 + 8 + 43.81) / 2 = 34.905 Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p (p - 17) (p - 8) * (p - 43.81)) ≈ 61.85

3. Найдем периметр треугольника: Периметр треугольника: P = 17 + 8 + 43.81 ≈ 68.81

Итак, площадь треугольника равна приблизительно 61.85, а периметр равен примерно 68.81.

Для решения задачи необходимо использовать свойства тригонометрии и формулы для площади и периметра треугольника.

Дано:

• ( AC = 17 )
• ( BC = 8 )
• ( \cos C = \frac{15}{17} )

Шаг 1: Найдите сторону ( AB ) с использованием теоремы косинусов.

Теорема косинусов для треугольника ( ABC ) формулируется как: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C ]

Подставляем известные значения: [ AB^2 = 17^2 + 8^2 - 2 \cdot 17 \cdot 8 \cdot \frac{15}{17} ]

Сначала вычислим квадраты сторон: [ 17^2 = 289, \quad 8^2 = 64 ]

Теперь подставим в формулу: [ AB^2 = 289 + 64 - 2 \cdot 17 \cdot 8 \cdot \frac{15}{17} ]

[ AB^2 = 289 + 64 - 240 ]

[ AB^2 = 353 - 240 = 113 ]

Таким образом, сторона ( AB ) равна: [ AB = \sqrt{113} ]

Шаг 2: Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника ( P ) равен сумме длин его сторон: [ P = AB + AC + BC = \sqrt{113} + 17 + 8 ]

Шаг 3: Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу с применением синуса угла: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C ]

Сначала найдем (\sin C) с использованием тригонометрической идентичности: [ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 ]

[ \sin^2 C = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 ]

[ \sin^2 C = 1 - \frac{225}{289} ]

[ \sin^2 C = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} ]

[ \sin C = \frac{8}{17} ]

Теперь подставим значения в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 8 \cdot \frac{8}{17} ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 ]

Ответ:

• Периметр треугольника: ( P = \sqrt{113} + 25 )
• Площадь треугольника: ( S = 32 ) квадратных единиц.