В треугольнике ABC A=60°, B=45°, AC=корень 6 см. Найдите сторону A

Для нахождения стороны A треугольника ABC можно воспользоваться законом синусов. Сначала найдем третий угол треугольника, зная что сумма углов в треугольнике равна 180°. C = 180° - 60° - 45° C = 75°

Затем найдем сторону B с помощью закона синусов: sin(B) / AC = sin(C) / AB sin(45°) / √6 = sin(75°) / AB AB = √6 * sin(45°) / sin(75°) AB ≈ 2.75 см

Таким образом, сторона A треугольника ABC равна примерно 2.75 см.

Чтобы найти сторону ( AB ) в треугольнике ( ABC ), где ( \angle A = 60^\circ ), ( \angle B = 45^\circ ) и ( AC = \sqrt{6} ) см, можно воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем угол ( C ) в треугольнике. Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), поэтому:

[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ ]

Теперь применим теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно одному и тому же значению для всех сторон треугольника:

[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{AB}{\sin 75^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} ]

Зная, что ( \sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ ) и ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), можем выразить ( \sin 75^\circ ) через известные тригонометрические функции:

[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ ]

Подставим значения:

[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим в уравнение:

[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим правую часть:

[ \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{1} = 2\sqrt{3} ]

Теперь решаем уравнение относительно ( AB ):

[ AB = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Упростим это выражение:

[ AB = \frac{2\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} ]

Таким образом, длина стороны ( AB ) равна:

[ AB = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, сторона ( AB ) имеет длину (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}) см.