В трапеции АВСD с основаниями АD=22 см и ВС=8 см проведена средняя линия KN, которая пересекает диагонали АС и BD в точках L и M. Определите величину отрезка LM.
В трапеции АВСD с основаниями АD=22 см и ВС=8 см проведена средняя линия KN, которая пересекает диагонали АС и BD в точках L и M. Определите величину отрезка LM.
В трапеции (ABCD) с основаниями (AD = 22 \, \text{см}) и (BC = 8 \, \text{см}) проведена средняя линия (KN). Средняя линия трапеции имеет длину, равную полусумме оснований, то есть:
[ KN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{22 + 8}{2} = 15 \, \text{см} ]
Средняя линия трапеции не только параллельна основаниям, но и делит трапецию на две равнобедренные трапеции или два равных по площади треугольника, если трапеция равнобедренная. В данном случае, нам нужно определить длину отрезка (LM), который является частью средней линии и пересекает диагонали (AC) и (BD).
Для решения задачи воспользуемся свойством трапеции и средней линии: длины отрезков, на которые средняя линия делит диагонали равны между собой. Это свойство следует из того, что средняя линия делит трапецию на два равных по площади четырёхугольника.
Таким образом, отрезки (AL) и (LC) равны, как и отрезки (BM) и (MD). А отрезок (LM) равен половине средней линии (поскольку диагонали делятся пополам):
[ LM = \frac{KN}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{см} ]
Итак, длина отрезка (LM) равна (7.5 \, \text{см}).
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами трапеции.
Сначала найдем длину диагонали АС. Так как KN - средняя линия, то она равна полусумме оснований трапеции. То есть KN = (AD + BC) / 2 = (22 + 8) / 2 = 15 см.
Так как KN - медиана, то точка пересечения с диагоналями делят их в отношении 2:1. Значит, AL = LC = 15 / 3 = 5 см и KD = DC = 15 / 3 = 5 см.
Теперь можем найти LM, который равен сумме AL и KD: LM = AL + KD = 5 + 5 = 10 см.
Итак, величина отрезка LM составляет 10 см.
