В сферу вписан конус образующая которого равна l а угол при вершине осевого сеченияоазующая которого...

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус сферы, в которую вписан конус.

По условию известно, что угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов, а длина образующей также равна l. Так как у нас имеется равносторонний треугольник, то можно использовать теорему косинусов.

Обозначим радиус сферы как R. Тогда получаем, что R = l / (2 * sin(60 градусов)) = l / √3.

Теперь можем найти площадь сферы по формуле S = 4πR² = 4π(l / √3)² = 4π(l² / 3).

Итак, площадь сферы, вписанной в данный конус, равна 4π(l² / 3).

Для решения задачи, начнём с анализа геометрических характеристик конуса и сферы.

1. Параметры конуса:

   • Образующая конуса ( l ).
   • Угол при вершине осевого сечения конуса равен ( 60^\circ ).

2. Осевое сечение конуса:

   • Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине ( 60^\circ ).
   • Поскольку угол при вершине равен ( 60^\circ ), боковые углы треугольника равны ( (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ ).
   • Таким образом, осевое сечение является равносторонним треугольником.

3. Свойства равностороннего треугольника:

   • В равностороннем треугольнике все стороны равны, и каждая высота делит его на два прямоугольных треугольника с углом ( 30^\circ ) и ( 60^\circ ).

4. Связь элементов конуса и сферы:

   • Радиус основания конуса ( R ) и высота ( h ) связаны с длиной образующей ( l ) через прямоугольный треугольник, где ( l ) — гипотенуза, а ( R ) и ( h ) — катеты.
   • В равностороннем треугольнике высота ( h ) делится пополам основание, образуя два прямоугольных треугольника с углом ( 30^\circ ).

5. Вычисление радиуса основания конуса (R):

   • В прямоугольном треугольнике с углом ( 30^\circ ), противолежащая катету сторона (основание треугольника) равна ( \frac{l}{2} ).

6. Расчет высоты ( h ):

   • Используем формулу для высоты в равностороннем треугольнике: ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l ).

7. Определение радиуса сферы:

   • Радиус сферы ( r ) равен половине высоты конуса, плюс радиус основания: [ r = \frac{h}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}l}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot l}{4} ]

8. Вычисление площади поверхности сферы:

   • Площадь поверхности сферы определяется формулой ( S = 4 \pi r^2 ). [ S = 4 \pi \left( \frac{\sqrt{3} \cdot l}{4} \right)^2 = 4 \pi \cdot \frac{3 \cdot l^2}{16} = \pi \cdot \frac{3 \cdot l^2}{4} = \frac{3 \pi l^2}{4} ]

Итак, площадь сферы, в которую вписан конус с заданными параметрами, равна: [ \boxed{\frac{3 \pi l^2}{4}} ]

Площадь сферы равна 4πr², где r - радиус сферы. Для нахождения радиуса нужно использовать формулу для вычисления объема конуса, который вписан в сферу: V = (1/3)πr²h, где h - высота конуса. Полученный радиус сферы можно подставить в формулу для площади сферы.