В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите ∠AOK .

Для нахождения угла AOK в равностороннем треугольнике ABC мы можем использовать свойство пересекающихся медиан. Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если точка O делит медиану BK в отношении 2:1, то BO:OK = 2:1.

Так как треугольник ABC равносторонний, то медиана BK также является одновременно и высотой, и медианой. Таким образом, точка O является одновременно и центром описанной окружности вокруг треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB равен 90 градусов, так как высота треугольника перпендикулярна основанию. Также, угол OAB равен 30 градусов, так как это угол, который соответствует половине центрального угла треугольника ABC.

Из угла OAB мы можем найти угол OAK, так как треугольник OAK является прямоугольным. Учитывая, что угол OAB равен 30 градусов, угол OAK будет составлять 60 градусов.

Таким образом, угол AOK равен 60 градусов.

∠AOK = 30°

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Рассмотрим равносторонний треугольник ( \triangle ABC ) с медианами ( BK ) и ( AM ), которые пересекаются в точке ( O ).

1. Свойства медиан в равностороннем треугольнике:

   • В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами.
   • Все медианы равны, и они пересекаются в одной точке, называемой центроидом (центром масс), который делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Расположение точек:

   • Так как ( O ) — это точка пересечения медиан, она является центроидом треугольника.
   • В равностороннем треугольнике центроид совпадает с центром описанной окружности и вписанной окружности.

3. Углы в равностороннем треугольнике:

   • Все углы ( \triangle ABC ) равны 60 градусам.
   • Медианы, как биссектрисы, делят углы пополам, следовательно, каждая медиана делит угол 60 градусов на два угла по 30 градусов.

4. Определение угла ( \angle AOK ):

   • Рассмотрим медианы ( BK ) и ( AM ). Поскольку они делят углы пополам, углы ( \angle ABK ) и ( \angle BAM ) равны 30 градусам.
   • Точка ( O ), будучи центроидом, делит медианы в отношении 2:1. Угол между медианами в равностороннем треугольнике всегда равен 120 градусам, так как они делят окружность на три равные части.

5. Заключение:

   • Таким образом, угол ( \angle AOK ) в равностороннем треугольнике равен 120 градусам.

Поэтому, в равностороннем треугольнике, угол между медианами, исходящими из двух вершин, всегда равен 120 градусам.