В равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 5*корень из 2 см вписан квадрат так,...

Сторона вписанного квадрата равна 5 см.

Чтобы найти сторону квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковыми сторонами 5√2 см, начнем с анализа геометрии данной задачи.

1. Характеристики треугольника:

   • Основание ( AB = 10 ) см.
   • Боковые стороны ( AC = BC = 5\sqrt{2} ) см.
   • Треугольник ( ABC ) является равнобедренным.

2. Высота треугольника: Чтобы найти высоту треугольника ( AD ) (где ( D ) — точка пересечения высоты с основанием ( AB )), используем теорему Пифагора в треугольнике ( ACD ): [ AC^2 = AD^2 + CD^2 ] Поскольку ( D ) — середина основания ( AB ), ( CD = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 ) см. Тогда: [ (5\sqrt{2})^2 = AD^2 + 5^2 ] [ 50 = AD^2 + 25 ] [ AD^2 = 25 ] [ AD = 5 \text{ см} ] Таким образом, высота треугольника равна 5 см.

3. Положение квадрата: Пусть сторона квадрата равна ( s ) см. Одна пара его вершин лежит на основании ( AB ), а другая пара — на боковых сторонах ( AC ) и ( BC ).

4. Высота треугольника до стороны квадрата: Высота треугольника ( ABD ) выше стороны квадрата равна ( 5 - s ) см.

5. Треугольники с вершинами квадрата: Рассмотрим треугольники ( ADE ) и ( BDF ), где ( E ) и ( F ) точки пересечения сторон квадрата с боковыми сторонами ( AC ) и ( BC ).

   В треугольнике ( ADE ), ( DE = s ), высота ( AD = 5 ), и высота до квадрата ( AE = 5 - s ).

   Поскольку треугольник ( ADE ) подобен треугольнику ( ABC ): [ \frac{AE}{AD} = \frac{EF}{AB} ] Подставляя значения: [ \frac{5 - s}{5} = \frac{s}{10} ] Умножим обе части на 10: [ 2(5 - s) = s ] [ 10 - 2s = s ] [ 10 = 3s ] [ s = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см} ]

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в данный равнобедренный треугольник, составляет (\frac{10}{3}) см или примерно 3.33 см.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и вписанного квадрата.

Пусть сторона искомого квадрата равна ( x ) см. Тогда мы можем разделить равнобедренный треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника, образованных высотой, проведенной из вершины квадрата к середине основания равнобедренного треугольника.

Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой равной ( x ), катетами ( \frac{x}{2} ) и ( 5\sqrt{2} - \frac{x}{2} ) (половина основания треугольника минус половина стороны квадрата). По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников мы можем составить уравнение:

[ x^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(5\sqrt{2} - \frac{x}{2}\right)^2 ]

Решив это уравнение, мы найдем, что сторона квадрата равна ( x = 5 ) см.