В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 см вписана окружность, найдите боковую сторону трапеции,...

Боковая сторона трапеции равна 6 см, радиус окружности равен 2 см, площадь равна 20 кв. см.

Для решения задачи воспользуемся несколькими свойствами равнобедренной трапеции и вписанной в неё окружности.

1. Условие задачи:

   • Основания трапеции ( a = 2 ) см и ( b = 8 ) см.
   • В трапецию вписана окружность.

2. Параллельные стороны и свойства:

   • В равнобедренной трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть боковые стороны равны ( c ). Тогда: [ a + b = 2c ] Подставляем значения: [ 2 + 8 = 2c \implies 10 = 2c \implies c = 5 \text{ см} ] Итак, боковые стороны трапеции равны 5 см.

3. Вписанная окружность и радиус:

   • Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти, используя формулу: [ r = \frac{S}{p} ] где ( S ) — площадь трапеции, а ( p ) — полупериметр трапеции.

4. Полупериметр трапеции:

   • Полупериметр ( p ): [ p = \frac{a + b + 2c}{2} = \frac{2 + 8 + 2 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} ]

5. Площадь трапеции:

   • Высота ( h ) трапеции вычисляется из прямоугольного треугольника, образованного высотой и отрезками основания.
   • Половина разности оснований: ( \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \text{ см} )
   • Используем теорему Пифагора для нахождения высоты: [ h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]
   • Площадь трапеции ( S ): [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2 + 8) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2 ]

6. Радиус вписанной окружности:

   • Теперь можно найти радиус: [ r = \frac{S}{p} = \frac{20}{10} = 2 \text{ см} ]

Итак, боковая сторона трапеции равна 5 см, радиус вписанной окружности равен 2 см, а площадь трапеции равна 20 см².

Для начала определим высоту равнобедренной трапеции. Поскольку она проведена из вершины трапеции к основанию перпендикулярно, то она разделит трапецию на два равнобедренных треугольника. Таким образом, высота трапеции будет равна расстоянию от вершины до середины основания, то есть половине разности длин оснований: h = (8 - 2) / 2 = 3 см

Теперь найдем длину боковой стороны трапеции (боковая сторона равнобедренной трапеции равна полусумме длин оснований, поэтому): a = (8 + 2) / 2 = 5 см

Так как вписанная окружность касается всех сторон трапеции, то линия, соединяющая центр окружности с точкой касания, будет перпендикулярной к стороне трапеции. Таким образом, радиус вписанной окружности равен высоте трапеции, то есть 3 см.

Наконец, найдем площадь трапеции. Площадь трапеции можно выразить как произведение полусуммы оснований на высоту: S = ((a + b) / 2) h S = ((8 + 2) / 2) 3 S = 5 * 3 S = 15 кв.см

Итак, боковая сторона трапеции равна 5 см, радиус вписанной окружности равен 3 см, а площадь трапеции составляет 15 квадратных сантиметров.