В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к ней 12 см. Найдите радиус...

Для решения задачи сначала найдем стороны равнобедренного треугольника. Дано, что основание ( AB = 10 ) см, а высота ( CH = 12 ) см, где ( H ) — середина основания ( AB ).

Поиск боковой стороны

Треугольник ( \triangle CHB ) прямоугольный, где ( CH = 12 ) см и ( HB = \frac{AB}{2} = 5 ) см. Используем теорему Пифагора для нахождения боковой стороны ( AC = BC = x ):

[ x^2 = CH^2 + HB^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 ]

[ x = \sqrt{169} = 13 \text{ см} ]

Поиск площади треугольника

Площадь ( S ) треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту:

[ S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 ]

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) находится по формуле:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( p ) — полупериметр треугольника:

[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18 \text{ см} ]

Тогда

[ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} = 3.\overline{3} \text{ см} ]

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ( R ) равен:

[ R = \frac{abc}{4S} ]

где ( a = 13 ), ( b = 13 ), ( c = 10 ) — стороны треугольника. Подставим значения:

[ R = \frac{13 \times 13 \times 10}{4 \times 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24} \approx 7.04 \text{ см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен ( 3.\overline{3} ) см, а радиус описанной окружности примерно ( 7.04 ) см.

Радиус вписанной окружности равен 4 см, а радиус описанной окружности равен 6 см.

Для начала найдем площадь равнобедренного треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле S = 0.5 a h, где a - основание, h - высота. Подставляем известные значения: S = 0.5 10 12 = 60 см².

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, а также высотой и перпендикулярна основанию. Известно, что площадь равнобедренного треугольника можно также найти по формуле S = r * p, где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то p = a + b + c / 2 = 10 + 10 + 2r = 20 + 2r. Подставляем в формулу площади: 60 = r * (20 + 2r). Решаем уравнение и находим, что r = 3 см.

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по формуле R = a b c / 4S, где R - радиус описанной окружности, S - площадь треугольника. Подставляем известные значения: R = 10 10 10 / (4 * 60) = 25 / 3 ≈ 8.33 см.

Итак, радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник равен 3 см, а радиус описанной окружности равен примерно 8.33 см.