В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — 5(√6-√2), а угол, лежащий напротив...

Площадь равнобедренного треугольника равна 25.

Для начала, давайте разберём данное условие:

• Боковая сторона треугольника равна 10.
• Основание треугольника равно (5(\sqrt{6} - \sqrt{2})).
• Угол, лежащий напротив основания, равен 30 градусам.

Мы будем использовать тригонометрические свойства и теорему синусов, чтобы найти площадь треугольника.

1. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника:

Поскольку треугольник равнобедренный и угол напротив основания равен 30 градусам, каждый из углов при основании составляет ( \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ ).

Проведем высоту из вершины противоположной основанию. Эта высота разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, каждый с углами 30°, 60° и 90°. Высота будет являться медианой и биссектрисой, а также делить основание пополам.

1. Найдём длину высоты и половину основания:

Половина основания будет равна ( \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} ).

Высота ( h ) в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 и половиной основанием как одним из катетов, найдём по формуле для синуса: [ \sin(30^\circ) = \frac{\text{половина основания}}{гипотенуза} ] [ \frac{1}{2} = \frac{\frac{5}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{10} ] [ \frac{1}{2} = \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{20} ] [ 10 = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

Это верное уравнение.

Теперь выразим высоту ( h ): [ h = \sqrt{10^2 - \left( \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \right)^2} ]

Вычислим выражение: [ = \sqrt{100 - \left( \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \right)^2} ] [ = \sqrt{100 - \left( \frac{25(6 + 2 - 2\sqrt{12})}{4} \right)} ] [ = \sqrt{100 - \left( \frac{25(8 - 2\sqrt{12})}{4} \right)} ] [ = \sqrt{100 - \left( \frac{25(4 - \sqrt{12})}{2} \right)} ] [ = \sqrt{100 - \left( \frac{100 - 25\sqrt{12}}{2} \right)} ] [ = \sqrt{100 - (50 - 12.5\sqrt{12})} ] [ = \sqrt{100 - 50 + 12.5\sqrt{12}} ] [ = \sqrt{50 + 12.5\sqrt{12}} ]

1. Найдём площадь треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: [ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота ] [ S = \frac{1}{2} \times 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times \sqrt{50 + 12.5\sqrt{12}} ]

В данном случае проще воспользоваться альтернативным методом нахождения площади через синусы: [ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \sin(30^\circ) ] [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ] [ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \frac{1}{2} ] [ S = \frac{1}{2} \times 50 ] [ S = 25 ]

Таким образом, площадь данного равнобедренного треугольника равна 25 квадратных единиц.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно воспользоваться формулой площади треугольника через основание и высоту: S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота, опущенная из вершины треугольника на основание.

Для начала найдем высоту треугольника. Из условия задачи известно, что угол, лежащий напротив основания, равен 30 градусов. Так как треугольник равнобедренный, то угол, лежащий напротив основания, равен углу между боковой стороной и высотой. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза (10), катет (высота) и угол между ними (30 градусов).

Находим высоту треугольника с помощью тригонометрии: h = 10 * sin(30) = 5.

Теперь можем найти площадь треугольника: S = 0.5 (5(√6-√2)) 5 = 12.5(√6-√2).

Итак, площадь равнобедренного треугольника равна 12.5(√6-√2) квадратных единиц.