В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точно М.Докажите равенство треугольников...

Треугольники AMD и CMD равны, так как у них равны углы при вершине M (по условию равнобедренности треугольника ABC), сторона AD равна стороне CD (так как BD - медиана, а в равнобедренном треугольнике медиана равна биссектрисе), и сторона AM равна стороне CM (общая).

Для доказательства равенства треугольников AMD и CMD можно воспользоваться следующим методом:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и вершиной B. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD будет являться медианой и высотой, а также угол ABD будет равен углу CBD, так как они являются вершинами равнобедренного треугольника.

2. Так как треугольники AMD и CMD имеют общую сторону MD и равные углы при вершине M (по построению), то они равны друг другу по двум сторонам и углу между ними.

3. Следовательно, треугольники AMD и CMD равны друг другу по двум сторонам и углу между ними, что доказывает их равенство.

Таким образом, треугольники AMD и CMD равны друг другу.

Для доказательства равенства треугольников ( \triangle AMD ) и ( \triangle CMD ) в равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ), где точка ( M ) выбрана на высоте ( BD ), мы можем использовать критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак SAS - Side-Angle-Side).

1. Стороны ( AM ) и ( CM ):

   Поскольку точка ( M ) находится на высоте ( BD ), которая является также медианой в равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ), отрезки ( AM ) и ( CM ) равны между собой. Это следует из свойства медианы в равнобедренном треугольнике, которая делит основание на две равные части. Однако, в данном случае ( M ) не обязательно середина ( AC ), но так как ( \triangle ABD \equiv \triangle CBD ) по двум сторонам и углу между ними, отрезки ( AM ) и ( CM ) равны (они симметричны относительно высоты).

2. Угол ( \angle AMD ) и ( \angle CMD ):

   Поскольку ( BD ) является высотой, она перпендикулярна ( AC ). Таким образом, углы ( \angle AMD ) и ( \angle CMD ) оба равны ( 90^\circ ).

3. Сторона ( MD ):

   Так как точка ( M ) выбрана на высоте ( BD ), то отрезок ( MD ) является общим для обоих треугольников ( \triangle AMD ) и ( \triangle CMD ).

Итак, у нас есть две равные стороны ( AM = CM ), равные углы ( \angle AMD = \angle CMD = 90^\circ ) и общая сторона ( MD ).

По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники ( \triangle AMD ) и ( \triangle CMD ) равны:

[ \triangle AMD \cong \triangle CMD. ]

Таким образом, равенство треугольников ( \triangle AMD ) и ( \triangle CMD ) доказано.