. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане BD отмечена точка К. Докажите, что треугольник...

Для доказательства того, что треугольник АКС является равнобедренным, начнем с рассмотрения основных свойств и характеристик треугольника АВС.

1. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, боковые стороны AB и BC равны: AB = BC.
   • Медиана BD в равнобедренном треугольнике также является высотой и биссектрисой угла при вершине B, а также перпендикулярной к основанию АС и делит его пополам: AD = DC.

2. Рассмотрим медиану BD:

   • Точка D является серединой отрезка AC, то есть AD = DC.
   • Медиана BD делит треугольник АВС на два равных по площади треугольника ABD и BDC, которые также являются зеркальными отражениями друг друга относительно BD.

3. Рассмотрим треугольники ABD и BDC:

   • В этих треугольниках:
     • AB = BC (по условию),
     • AD = DC (так как D – середина AC),
     • BD является общей стороной.
   • Следовательно, треугольники ABD и BDC равны по трем сторонам (свойство равенства треугольников по трем сторонам).

4. Рассмотрим треугольник AKC:

   • Пусть K – произвольная точка на медиане BD.
   • Так как треугольники ABD и BDC равны и зеркально симметричны относительно BD, то отрезки AK и CK будут равны.

   Доказательство этого факта можно провести следующим образом:

   • Построим треугольники AKD и CKD.
   • В этих треугольниках:
     • AD = DC (по построению),
     • DK является общей стороной,
     • Углы при вершинах A и C равны, так как треугольники ABD и BDC равны и зеркально симметричны.

5. Равенство треугольников AKD и CKD:

   • По двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK – общая сторона, углы при вершинах A и C равны) треугольники AKD и CKD равны.
   • Следовательно, AK = CK.

Таким образом, в треугольнике AKC боковые стороны AK и CK равны, что означает, что треугольник AKC является равнобедренным.

Вывод: Мы доказали, что треугольник AKC является равнобедренным, так как его боковые стороны AK и CK равны.

Для начала заметим, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BD$ будет одновременно и медианой, и высотой, и биссектрисой. Это означает, что $BD$ делит угол $ABC$ пополам.

Теперь обратим внимание на треугольник $AKC$. Поскольку $BD$ является медианой треугольника $ABC$, то точка $K$ также является серединой стороны $AC$. Значит, $AK = KC$.

Так как $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, то $\angle ABK = \angle CBK$. Но также из того, что $AK = KC$, следует, что $\angle AKC = \angle AKB$.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов: $\angle AKC = \angle AKB$ и $\angle ABK = \angle CBK$. Из этого следует, что треугольник $AKC$ также является равнобедренным, и у него сторона $AK$ равна стороне $KC$.

Треугольник АКС равнобедренный, так как отрезок КВ является медианой треугольника АВС, что означает, что он делит основание АС пополам, а значит, углы при вершине К будут равными.