В равнобедренном треугольнике ABC AB=AC=8 см угол ABC= 30 градусов D- середина AB E - середина AC Найти:...

a) Сначала найдем векторы AB и AC. Вектор AB можно записать как $8,0$, так как он направлен вдоль оси x и имеет длину 8 см. Вектор AC можно записать как $4,4\surd 3$, так как он направлен в направлении угла 30 градусов и имеет длину 8 см.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC: AB • AC = 84 + 04√3 = 32

b) Сначала найдем вектор BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC также равен 8 см. Вектор BC можно записать как $0,-8\surd 3$, так как он направлен в направлении угла 30 градусов и имеет длину 8 см.

Теперь найдем вектор DE. Вектор DE можно записать как $4,-2\surd 3$, так как он направлен от середины стороны AC к середине стороны AB.

Вычислим скалярное произведение векторов BC и DE: BC • DE = 04 + $-8\surd 3$$-2\surd 3$ = 48

c) Вектор AB мы уже нашли ранее как $8,0$, а вектор BC как $0,-8\surd 3$.

Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC: AB • BC = 80 + 0$-8\surd 3$ = 0

Таким образом, скалярные произведения векторов AB и AC, BC и DE, AB и BC равны соответственно 32, 48 и 0.

Для решения данной задачи нам нужно найти скалярные произведения векторов. Рассмотрим каждый пункт отдельно.

a) Скалярное произведение векторов AB и AC

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC = 8 см и угол ABC = 30 градусов, скалярное произведение векторов AB и AC можно найти с использованием формулы скалярного произведения через косинус угла между векторами:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$

Поскольку треугольник равнобедренный, угол BAC равен углу ACB. Угол ABC = 30 градусов, значит углы BAC и ACB равны:

$\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }ACB=\frac{{180}^{\circ }-{30}^{\circ }}{2}={75}^{\circ }$

Теперь подставим значения:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\cdot 8\cdot \cos ({75}^{\circ })$

Косинус 75 градусов можно выразить через косинусы углов, составляющих 75 градусов: $\cos ({75}^{\circ }$ = \cos${45}^{\circ }+{30}^{\circ }$), что равно:

$\cos ({75}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ })\cos ({30}^{\circ })-\sin ({45}^{\circ })\sin ({30}^{\circ })$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Следовательно,

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=64\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=16(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

b) Скалярное произведение векторов BC и DE

Так как D и E - середины отрезков AB и AC соответственно, отрезок DE является средней линией треугольника ABC, и его длина равна половине основания BC. Чтобы найти скалярное произведение векторов BC и DE, сначала найдём длину BC.

Используем теорему косинусов для треугольника ABC:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos ({30}^{\circ })$

$B{C}^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B{C}^2=64+64-64\sqrt{3}=128-64\sqrt{3}$

$BC=\sqrt{128-64\sqrt{3}}$

Длина DE, как средней линии, будет равна половине BC:

$DE=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{128-64\sqrt{3}}$

Теперь найдём скалярное произведение $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DE}$. Поскольку DE параллелен BC и вдвое короче, то

$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DE}=|\overrightarrow{BC}|\cdot |\overrightarrow{DE}|$

$=\sqrt{128-64\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{128-64\sqrt{3}}$

$=\frac{1}{2}\cdot (128-64\sqrt{3})$

c) Скалярное произведение векторов AB и BC

Для нахождения скалярного произведения векторов AB и BC используем формулу скалярного произведения:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC)$

Поскольку угол ABC известен и равен 30 градусам:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=8\cdot \sqrt{128-64\sqrt{3}}\cdot \cos ({30}^{\circ })$

$=8\cdot \sqrt{128-64\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{128-64\sqrt{3}}$

Таким образом, мы нашли скалярные произведения для всех требуемых пар векторов.