В равнобедренном треугольнике ABC AB=AC=8 см угол ABC= 30 градусов D- середина AB E - середина AC Найти:...

a) Сначала найдем векторы AB и AC. Вектор AB можно записать как (8, 0), так как он направлен вдоль оси x и имеет длину 8 см. Вектор AC можно записать как (4, 4√3), так как он направлен в направлении угла 30 градусов и имеет длину 8 см.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC: AB • AC = 84 + 04√3 = 32

b) Сначала найдем вектор BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC также равен 8 см. Вектор BC можно записать как (0, -8√3), так как он направлен в направлении угла 30 градусов и имеет длину 8 см.

Теперь найдем вектор DE. Вектор DE можно записать как (4, -2√3), так как он направлен от середины стороны AC к середине стороны AB.

Вычислим скалярное произведение векторов BC и DE: BC • DE = 04 + (-8√3)(-2√3) = 48

c) Вектор AB мы уже нашли ранее как (8, 0), а вектор BC как (0, -8√3).

Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC: AB • BC = 80 + 0(-8√3) = 0

Таким образом, скалярные произведения векторов AB и AC, BC и DE, AB и BC равны соответственно 32, 48 и 0.

Для решения данной задачи нам нужно найти скалярные произведения векторов. Рассмотрим каждый пункт отдельно.

a) Скалярное произведение векторов AB и AC

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC = 8 см и угол ABC = 30 градусов, скалярное произведение векторов AB и AC можно найти с использованием формулы скалярного произведения через косинус угла между векторами:

[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) ]

Поскольку треугольник равнобедренный, угол BAC равен углу ACB. Угол ABC = 30 градусов, значит углы BAC и ACB равны:

[ \angle BAC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ ]

Теперь подставим значения:

[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 8 \cdot 8 \cdot \cos(75^\circ) ]

Косинус 75 градусов можно выразить через косинусы углов, составляющих 75 градусов: (\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)), что равно:

[ \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) ]

[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Следовательно,

[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 64 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 16(\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

b) Скалярное произведение векторов BC и DE

Так как D и E - середины отрезков AB и AC соответственно, отрезок DE является средней линией треугольника ABC, и его длина равна половине основания BC. Чтобы найти скалярное произведение векторов BC и DE, сначала найдём длину BC.

Используем теорему косинусов для треугольника ABC:

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(30^\circ) ]

[ BC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ BC^2 = 64 + 64 - 64\sqrt{3} = 128 - 64\sqrt{3} ]

[ BC = \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} ]

Длина DE, как средней линии, будет равна половине BC:

[ DE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} ]

Теперь найдём скалярное произведение (\vec{BC} \cdot \vec{DE}). Поскольку DE параллелен BC и вдвое короче, то

[ \vec{BC} \cdot \vec{DE} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DE}| ]

[ = \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} ]

[ = \frac{1}{2} \cdot (128 - 64\sqrt{3}) ]

c) Скалярное произведение векторов AB и BC

Для нахождения скалярного произведения векторов AB и BC используем формулу скалярного произведения:

[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) ]

Поскольку угол ABC известен и равен 30 градусам:

[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 8 \cdot \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} \cdot \cos(30^\circ) ]

[ = 8 \cdot \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{128 - 64\sqrt{3}} ]

Таким образом, мы нашли скалярные произведения для всех требуемых пар векторов.