В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона 6 см, а один из углов трапеции...

Для решения задачи найдем площадь равнобедренной трапеции, используя известные характеристики. Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

• Меньшее основание ( a = 4 \, \text{см} ),
• Боковая сторона ( c = 6 \, \text{см} ),
• Один из углов трапеции при основании равен ( \alpha = 150^\circ ).

Нужно найти площадь трапеции.

Шаг 1. Представление трапеции

Пусть трапеция ( ABCD ) — равнобедренная. Основания ( AB ) (меньшее) и ( CD ) (большее) параллельны, боковые стороны ( AD ) и ( BC ) равны и составляют по ( 6 \, \text{см} ). Угол при основании ( AB ) равен ( \angle DAB = 150^\circ ).

Шаг 2. Высота трапеции

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведённый из точки ( A ) или ( B ) на большее основание ( CD ). Чтобы её найти, воспользуемся тригонометрией.

Рассмотрим треугольник ( \triangle DAB ):

1. Боковая сторона ( AD = 6 \, \text{см} ),
2. Угол ( \angle DAB = 150^\circ ).

Высота ( h ) из точки ( A ) (или ( B )) на основание ( CD ) связана с боковой стороной ( AD ) и углом ( \alpha = 150^\circ ) следующим образом: [ h = AD \cdot \sin \alpha. ] Подставим значения: [ h = 6 \cdot \sin 150^\circ. ] Значение ( \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = 0{,}5 ). Тогда: [ h = 6 \cdot 0{,}5 = 3 \, \text{см}. ]

Шаг 3. Длина большего основания

Теперь найдём большее основание ( CD ). В равнобедренной трапеции боковые стороны образуют с основаниями равные углы, поэтому точки ( A ) и ( B ) проецируются перпендикулярно на большее основание ( CD ) и делят его на три части:

• Средняя часть равна меньшему основанию ( AB = 4 \, \text{см} ),
• Обе крайние части равны между собой (по свойству равнобедренной трапеции).

Найдём длину одной из крайних частей. В прямоугольном треугольнике ( \triangle DAP ) (где ( P ) — проекция точки ( A ) на основание ( CD )):

1. Катет ( AP ) равен высоте ( h = 3 \, \text{см} ),
2. Гипотенуза ( AD = 6 \, \text{см} ),
3. Найдём прилежащий катет ( DP ) с помощью косинуса: [ DP = AD \cdot \cos 150^\circ. ] Значение ( \cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 150^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда: [ DP = 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3}. ] Так как ищем длину отрезка, берём модуль: [ DP = 3\sqrt{3} \, \text{см}. ] Таким образом, крайние части большего основания ( CD ) равны ( DP = 3\sqrt{3} \, \text{см} ) и ( BQ = 3\sqrt{3} \, \text{см} ). Общее основание: [ CD = AB + 2 \cdot DP = 4 + 2 \cdot 3\sqrt{3} = 4 + 6\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 4. Площадь трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h. ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (4 + 4 + 6\sqrt{3}) \cdot 3. ] Упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 6\sqrt{3}) \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot (8 + 6\sqrt{3}) = 12 + 9\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь равнобедренной трапеции равна: [ S = 12 + 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \, (\text{примерно } 27{,}59 \, \text{см}^2). ]

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно знать высоту и длину основания. В данной задаче у нас есть следующее:

• Меньшее основание ( a = 4 ) см.
• Боковая сторона ( b = 6 ) см.
• Угол ( \alpha = 150^\circ ).

Сначала обозначим большее основание как ( c ). В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и для нахождения высоты (h) мы можем использовать тригонометрические функции.

1. Найдем высоту трапеции. Для этого проведем перпендикуляр из верхнего основания к нижнему. Обозначим его длину ( h ). В равнобедренной трапеции высота делит боковую сторону на две части.

Используя угол ( \alpha ), мы можем выразить высоту через боковую сторону: [ h = b \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(150^\circ). ] Поскольку ( \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), получаем: [ h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}. ]

1. Теперь мы можем найти длину большего основания ( c ). Для этого нам надо найти, насколько боковая сторона отклоняется от вертикали. Мы можем использовать косинус: [ x = b \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(150^\circ). ] Поскольку ( \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем: [ x = 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3} \text{ см} \quad (\text{это расстояние, отнесенное к правой части}). ]

Теперь, поскольку трапеция равнобедренная, отклонение от вертикали будет одинаковым с обеих сторон: [ c = a + 2 \cdot |x| = 4 + 2 \cdot 3\sqrt{3} = 4 + 6\sqrt{3} \text{ см}. ]

1. Теперь мы можем вычислить площадь ( S ) трапеции по формуле: [ S = \frac{(a + c) \cdot h}{2}. ] Подставим значения: [ S = \frac{(4 + (4 + 6\sqrt{3})) \cdot 3}{2} = \frac{(8 + 6\sqrt{3}) \cdot 3}{2} = \frac{24 + 18\sqrt{3}}{2} = 12 + 9\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет ( 12 + 9\sqrt{3} ) см².

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, где меньшее основание ( a = 4 ) см, боковая сторона ( c = 6 ) см и угол ( \alpha = 150^\circ ), сначала найдем высоту трапеции.

1. Вычислим высоту ( h ) через боковую сторону и угол: [ h = c \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(150^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}. ]

2. Теперь найдем большую основу ( b ). Для этого воспользуемся косинусом угла: [ x = c \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(150^\circ) = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3\sqrt{3} \text{ см}. ] Значит, половина разности оснований равна ( -3\sqrt{3} ). Полное основание будет: [ b = a + 2x = 4 + 2(-3\sqrt{3}) = 4 - 6\sqrt{3} \text{ см}. ]

3. Площадь ( S ) равнобедренной трапеции: [ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(4 + (4 - 6\sqrt{3})) \cdot 3}{2} = \frac{(8 - 6\sqrt{3}) \cdot 3}{2} = 12 - 9\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Ответ: площадь равнобедренной трапеции равна ( 12 - 9\sqrt{3} ) см².