В правильный шестиугольник со стороной а вписана окружность найдите её радиус

Рассмотрим задачу: в правильный шестиугольник со стороной ( a ) вписана окружность, и требуется найти её радиус. Разберёмся с геометрией правильного шестиугольника и его особенностями.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, стороны которых равны ( a ).

2. Центр правильного шестиугольника совпадает с центром окружности, как описанной, так и вписанной.

   У вписанной окружности радиус равен расстоянию от центра до середины любой стороны шестиугольника. Это же расстояние является высотой (или апофемой) одного из равносторонних треугольников, на которые разбивается шестиугольник.

Вспомогательные расчёты:

Рассмотрим один равносторонний треугольник со стороной ( a ). Апофема (радиус вписанной окружности) равностороннего треугольника равна:

[ r = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a ]

Поскольку правильный шестиугольник состоит из шести таких треугольников, то радиус вписанной окружности правильного шестиугольника будет таким же, как апофема одного из его треугольников.

Вывод:

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника со стороной ( a ) равен:

[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a ]

Итоговая формула:

[ r = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a ]

Где ( r ) — радиус вписанной окружности, а ( a ) — сторона шестиугольника.

Этот результат является важным свойством правильного шестиугольника, что делает его полезным в задачах, связанных с геометрией и планиметрией.

В правильный шестиугольник можно вписать окружность, которая касается всех его сторон. Чтобы найти радиус этой окружности, давайте рассмотрим свойства правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, каждый из которых имеет угол 60 градусов. Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной ( a ).

Шаг 1: Найдем высоту одного из равносторонних треугольников

Высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ] где ( h ) — высота треугольника.

Шаг 2: Определим радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) для равностороннего треугольника может быть вычислен по формуле: [ r = \frac{h}{3} ] где ( h ) — высота треугольника. Подставим найденное значение высоты: [ r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a ]

Шаг 3: Обобщим для шестиугольника

Поскольку правильный шестиугольник состоит из 6 таких равносторонних треугольников, радиус вписанной окружности ( R ) правильного шестиугольника совпадает с радиусом вписанной окружности одного из этих треугольников. Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной ( a ), равен: [ R = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a ]

Заключение

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной ( a ), равен: [ R = \frac{\sqrt{3}}{6} a ]